Преобразования, приводящие к равносильному уравнению

(Область определения исходного уравнения обозначена через , область определения функции  – через , причем предполагается, что ):

1) ;

2) ;

3) ;

4) , если для любого  справедливо тождество ;

5) , где ;

6) , где ,  для ;

7)  при  для ;

8) , где ,  для ;

9) , ;

10) , , если  для любого  (т.е. если функции  и  имеют в области  одинаковые знаки);

11)

12)  для ;

13) , если ;

14) , если  и на области определения уравнения .

6. Неравенства. Равносильные неравенства. Неравенства-следствия.
Теоремы о равносильных преобразованиях неравенств

Пусть f(x)=0 ––– числовая  функция одного или нескольких переменных(аргументов). Решить неравенство (f(x) < 0 f(x) > 0 (1) - это значит найти все значения аргумента (аргументов) функции, при которых неравенство (1) справедливо. Множество всех значении аргумента (аргументов) функции (, при которых неравенство (1) справедливо, называется множеством решении неравенства или просто решением неравенства.

Два неравенства считаются эквивалентными, если множества их решении совпадают.

  Под множеством допустимых значении неизвестных, входящих в неравенство, понимают область определения функции f(x)=0.

Если мн-ва решений f₁(x)<g₁(x) является мн-вом решенийf₂(x)<g₂(x) (при этом области определения уравнений могут не совпадать), то второе нер-во называют нер-вом–следствием первого и пишут f₁(x)<g₁(x) f₂(x)<g₂(x).