Режимы течения жидкости в трубах

Опыты показывают, что возможны два режима или два вида течения жидкостей и газов в трубах: ламинарный и турбулентный.

Указанные течения жидкости можно наблюдать на приборе, представленном на рисунке 3.11. Он состоит из резервуара А с водой, от которого отходит стеклянная труба В с краном С па конце, и сосуда D с индикаторной подкрашенной жидкостью, которая может по трубке вводиться тонкой струйкой внутрь стеклянной трубы В.

При постепенном увеличении скорости течения воды в трубе путем открытии крана С картина течения вначале не меняется, но затем при определенной скорости течения наступает быстрое ее изменение. Струйка подкрашенной жидкости по выходе из трубки начинает колебаться, затем размываться и перемешиваться с потоком воды, причем становятся заметными вихреобразования и вращательное движение жидкости. Пьезометр и трубка Пито показывают непрерывные пульсации давления и скоростей в потоке воды. Течение становится, как его принято называть, турбулентным (см. рисунок3.11, вверху).

Если уменьшить скорость потока, то восстановится ламинарное течение.

Итак, ламинарным называется слоистое течение без перемешивания частиц жидкости и без пульсаций скоростей и давления. При таком течении все линии тока определяются формой русла, по которому течет жидкость. При ламинарном течении жидкости в прямой трубе постоянного сечения все линии тока направлены параллельно оси трубы, т. е. прямолинейно; отсутствуют поперечные перемещения жидкости.

Турбулентным называется течение, сопровождающееся интенсивным перемешиванием жидкости и пульсациями скоростей и давлений. При турбулентном течении векторы скоростей имеют не только осевые, но и нормальные составляющие, поэтому наряду с основным продольным перемещением жидкости вдоль русла происходят поперечные перемещения (перемешивание) и вращательное движение отдельных объемов жидкости.

Режим течения данной жидкости в данной трубе изменяется при вполне определенной средней по сечению скорости течения υ _кр, которую называют критической. Как показывают опыты, значение этой скорости прямо пропорционально кинематической вязкости v и обратно пропорционально диаметру d трубы, т. с.

.

Входящий в эту формулу безразмерный коэффициент пропорциональности k одинаков для всех жидкостей и газов, а также для любых диаметров труб. Это означает, что изменение режима течения происходит при определенном соотношении между скоростью, диаметром и вязкостью v:

k = υ_кр d/v.

Полученное безразмерное число называется критическим числом Рейнольдса и обозначается

Re_кр = υ_кр d/v.                                                                

Критическое число Рейнольдса Re_кр не зависит от рода жидкости и размеров сечения, а лишь в небольшой степени определяется формой сечения и шероховатостью стенок трубы.

Таким образом, критическое число Рейнольдса является критерием, определяющим режим течения в трубах.

Как показывают опыты, для труб круглого сечения Re_кр ≈ 2300.

Зная скорость движения жидкости, ее вязкость и диаметр трубы, можно расчетным путем найти число Re и, сравнив его с Re_кр , определить режим течения жидкости.

При Re < Re_кр течение является ламинарным, при Re > Re_кр — турбулентным. Точнее говоря, вполне развитое турбулентное течение в трубах устанавливается лишь при

Re ≥ 10000, а при Re = 2300 … 10000 имеет место переходная, критическая область.

На практике имеют место как ламинарное, так и турбулентное течения, причем первое наблюдается в основном в тех случаях, когда по трубам движутся весьма вязкие жидкости, например смазочные масла, второе обычно происходит в водопроводах, а также в трубах, по которым перетекают бензин, керосин, спирты, кислоты и другие маловязкие жидкости.

 Теория ламинарного течения в круглых трубах

Как указывалось ранее, ламинарное течение является строго упорядоченным, слоистым течением без перемешивания жидкости. Теория ламинарного течения жидкости основывается на законе трения Ньютона. Это трение между слоями движущейся жидкости является единственным источником потерь энергии в данном случае.

Рассмотрим установившееся ламинарное течение жидкости в прямой круглой цилиндрической трубе с внутренним диаметром d = 2r₀. Чтобы исключить влияние силы тяжести и этим упростить вывод, допустим, что труба расположена горизонтально. Достаточно далеко от входа в нее, где поток уже вполне сформировался (стабилизировался), выделим отрезок длиной l между сечениями 1-1и 2-2.

Пусть в сечении 1-1 давление равно р₁, а в сечении 2-2 р₂.Ввиду постоянства диаметра трубы, скорость жидкости будет постоянной, а коэффициент а будет неизменным вдоль потока вследствие его стабильности, поэтому уравнение Бернулли для выбранных сечении примет вид

,

где h_тр — потеря напора на трение по длине.

Отсюда

,

В потоке жидкости выделим цилиндрический объем радиусом r, соосный с трубой и имеющий основания в выбранных сечениях. Запишем уравнение равномерного движения выделенного объема жидкости в трубе, т.е. равенство нулю суммы сил, действующих на объем: сил давления и сопротивления. Обозначая касательное напряжение на боковой поверхности цилиндра через τ, получим

откуда

Из формулы следует, что касательные напряжения в поперечном сечении трубы изменяются по линейному закону в функции радиуса. Эпюра касательного напряжения показана на рисунке 3.12, слева.

Выразим касательное напряженно τ по закону трения Ньютона через динамическую вязкость и поперечный градиент скорости; при этом заменим переменное у (расстояние от стенки) текущим радиусом r:

Знак минус обусловлен тем, что направление отсчета r (от оси к стенке) противоположно направлению отсчета у (от стенки).

Подставляя значение τ в предыдущее уравнение, получаем

.

Найдем отсюда приращение скорости

При положительном приращении радиуса получается отрицательное приращение (уменьшение) скорости, что соответствует профилю скоростей, показанному на рисунке 3.12.

Выполнив интегрирование, получим

Постоянную интегрирования С найдем из условия, что на стенке при r = r₀ υ = 0:

,

тогда скорость по окружности радиусом r

.                                                        

Это выражение является законом распределения скоростей по сечению круглой трубы при ламинарном течении. Кривая, изображающая эпюру скоростей, является параболой второй степени.

Максимальная скорость, имеющая место в центре сечения (при r = 0),

.                                                              

Входящее в формулу (3.20) отношение p_тр/l (см. рисунок 3.12) представляет собой гидравлический (пьезометрический) уклон, умноженный на ρg. Эта величина является постоянной вдоль прямой трубы постоянного диаметра.

Применим полученный закон распределения скоростей, описываемый уравнением (3.20) для расчета расхода. Для этого выразим сначала элементарный расход через бесконечно малую площадку dS:

Здесь  есть функция радиуса, определяемая формулой (3.20), а площадку dS целесообразно взять в виде кольца радиусом r и шириной dr, тогда

После интегрирования по всей площади поперечного сечения, т.е. от r = 0 до r = r₀

Среднюю по сечению скорость найдем делением расхода на площадь. С учетом выражения (3.22) получим

Сравнение этого выражения с формулой (3.20) показывает, что средняя скорость при ламинарном течении в 2 раза меньше максимальной:

Для получения закона сопротивления, т.е. выражения потери напора h_тр на трение через расход и размеры трубы, определим p_тр из формулы (3.22)

Разделив это выражение на ρg, заменив µ на νρ и p_тр на h_трρg, а также перейдя от r₀ к

d = 2r₀, найдем

Полученный закон сопротивления показывает, что при ламинарном течении в трубе круглого сечения потеря напора на трение пропорциональна расходу и вязкости в первой степени и обратно пропорциональна диаметру в четвертой степени. Этот закон, обычно называемый законом Пуазейля, используется для расчета трубопроводов с ламинарным течением.

Заменим в формуле (3.24) расход произведением . После сокращений получим

Данное выражение известно как закон Стокса. Приведем закон сопротивления Стокса к виду формулы Вейсбаха-Дарси:

.                                                                      

Для этого умножим и разделим формулу (3.25) на , перегруппировав сомножители, после сокращений получим

,

откуда следует, что при ламинарном режиме

.                                                               

где λ_л — коэффициент потерь на трение для ламинарного течения:

Изложенная теория ламинарного течения жидкости в круглой трубе хорошо подтверждается опытом, и выведенный закон сопротивления обычно не нуждается в каких-либо поправках, за исключением следующих случаев:

1) при течении в начальном участке трубы, где происходит постепенное формирование параболического профиля скоростей;

2) при течении с теплообменом;

3) при течении в капиллярах и зазорах с облитерацией;

4) при течении с большими перепадами давления.

Участок от начала трубы, на котором формируется (стабилизируется) параболический профиль скоростей, называется начальным участком течения (l_нач). За пределами этого участка имеем стабилизированное ламинарное течение, параболический профиль скоростей остается неизменным, как бы ни была длинна труба, при условии сохранения ее прямолинейности и постоянства сечения. Изложенная выше теория ламинарного течения справедлива именно для этого стабилизированного ламинарного течения и неприменима в пределах начального участка.

	Рисунок 3.13 - Формирование профиля скоростей на начальном участке

Для определения длины начального участка можно пользоваться приближенной формулой Шиллера, выражающей эту длину, отнесенную к диаметру трубы, как функцию числа Re:

.                                                      

Сопротивление на начальном участке трубы получается больше, чем на последующих участках. Объясняется это тем, что значений производной dυ/dy у стенки трубы на начальном участке больше, чем на участках стабилизированного течения, а потому больше и касательное напряжение, определяемое законом Ньютона, и притом тем больше, чем ближе рассматриваемое сечение к началу трубы, т.е. чем меньше координата x.

Потеря напора на участке трубы, длина которого l  l_нач, определяется по формуле

Закономерности ламинарного течения с теплообменом и большими перепадами давления подробно рассмотрены в [1].

8 Турбулентное течение

Основные сведения

Турбулентное течение характеризуется перемешиванием жидкости, пульсациями скоростей и давлений. Если с помощью особо чувствительного прибора-самописца измерить и записать пульсации, например, скорости по времени в фиксированной точке потока, то получим картину, подобную показанной на рисунке 3.14. Скорость беспорядочно колеблется около некоторого осредненного υ_оср по времени значения, которое в данном случае остается постоянным.

Траектории частиц, проходящих через данную неподвижную точку пространства в разные моменты времени, представляют собой кривые линии различной формы, несмотря на прямолинейность трубы. Характер линий тока в трубе в данный момент времени также отличается большим разнообразием (рисунок 3.15).

	Рисунок 3.14 - Пульсация скорости в турбулентном потоке

Рисунок 3.15 - Характер линий тока в турбулентном потоке

Таким образом турбулентное течение всегда является неустановившимся, так как значения скоростей и давлений, а также траектории частиц, изменяются по времени. Однако его можно рассматривать как установившееся течение при условии, что осредненные по времени значения скоростей и давлений, а также полный расход потока не изменяются со временем. Такое течение на практике считают приближенно стационарным или квазистационарным.

Распределение скоростей (осредненных по времени) в поперечном сечении турбулентного потока существенно отличается от того, которое характерно для ламинарного течения. Если сравним кривые распределения скоростей в ламинарном и турбулентном потоках в одной и той же трубе и при одном и том же расходе (одинаковой средней скорости), то обнаружим существенное различие (рисунок 3.16). Распределение скоростей при турбулентном течения более равномерное, а нарастание скорости у стенки более крутое, чем при ламинарном течении, для которого характерен параболический закон распределения скоростей.

В связи с этим коэффициент Кориолиса α, учитывающий неравномерность распределения скоростей в уравнении Бернулли при турбулентном течении значительно меньше, нежели при ламинарном. В отличие от ламинарного течения, где α не зависит от Re и равен 2, здесь коэффициент α является функцией Re и уменьшается с увеличением последнего от 1,13 приRe = Re_кр до 1,025 при Re = 3·10⁶. Как видно из графика, приведенного на рис. 3.17, кривая α при возрастании числа Re приближается к единице, поэтому в большинстве случаев при турбулентном течении можно принимать α = 1.

Так как при турбулентном течении отсутствует слоистость потока и происходит перемешивание жидкости, закон трения Ньютона в этом случае выражает лишь малую часть полного касательного напряжения. Благодаря перемешиванию жидкости и непрерывному переносу количества движения в поперечном направлении касательное напряжение τ₀ на стенке трубы в турбулентном потоке значительно больше, чем в ламинарном, при тех же значениях числа Re и динамического давления ρυ²/2, подсчитанных по средней скорости потока.