Сила давления на плоскую стенку

До сих пор рассматривались давления, действующие в жидкости. Однако более важное практическое значение имеют силы, возникающие от действия жидкости на различные стенки.

При определении силы, действующей со стороны жидкости на плоскую стенку, рассмотрим общий случай, когда стенка наклонена к горизонту под углом α, а на свободную поверхность жидкости действует давление р₀ (рисунок 2.5).

Вычислим силу давления F, действующую на некоторый участок рассматриваемой стенки площадью S. Ось Ох направим по линии пересечения плоскости стенки со свободной поверхностью жидкости, а ось Оу — перпендикулярно к этой линии в плоскости стенки.

Выразим сначала элементарную силу давления, приложенную к бесконечно малой площадке dS:

dF = p dS = (p_о + ρ gh) dS = p_о dS + ρ g h d S,

где р_о — давление на свободной поверхности;

h — глубина расположения площадки dS.

Для определения полной силы F проинтегрируем полученное выражение по всей площади S:

где у — координата площадки dS.

Последний интеграл представляет собой статический момент площади S относительно оси Ох и равсн произведению этой площади на координату ее центра тяжести (точка С), то есть

,

Следовательно

,

здесь h_с — глубина расположения центра тяжести площади S.

Или окончательно получим

т. е. полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на гидростатическое давление р_С в центре тяжести этой площади.

В частном случае, когда давление р_о является атмосферным и действует также с другой стороны стенки, сила F избыточного давления жидкости на плоскую стенку равна лишь силе F_ж давления от веса жидкости, т. е.

.

В общем случае давление р_о может существенно отличаться от атмосферного, поэтому полную силу F давления жидкости на стенку будем рассматривать как сумму двух сил: F_о от внешнего давления p_о и силы F_ж от веса жидкости, то есть

F = F₀ + F_ж = (p_о + р_С) S.

Найдем точки приложения этих сил, называемых центрами давления.

Так как внешнее давление р_о передается всем точкам площади S одинаково, то его равнодействующая F_о будет приложена в центре тяжести площади S. Для нахождения точки приложения силы давления F_ж  от веса жидкости (точка D) применим теорему механики, согласно которой момент равнодействующей силы относительно оси Ох равен сумме моментов составляющих сил, т. е.

,

где y_D — координата точки приложения силы F_ж

Выражая F_ж  и dF_ж через у_С и у и определяя y_D, получаем

,

где  — момент инерции площади S относительно оси Ох.

Учитывая, что ,

где J_xо — момент инерции площади S относительно центральной оси, параллельной Ох, находим

.                                            

Таким образом, точка приложения силы F_ж расположена ниже центра тяжести площади стенки; расстояние между ними

                   .

Если давление р_о равно атмосферному, то точка D и будет центром давления. При р_о выше атмосферного центр давления находят по правилам механики как точку приложения равнодействующей двух сил: F_о и F_ж, чем больше первая сила по сравнению со второй, тем, очевидно, центр давления ближе к центру тяжести площади S.

В частном случае, когда стенка имеет форму прямоугольника размерами ахb (рисунок 2.6) и одна из его сторон а лежит на свободной поверхности с атмосферным давлением, центр давления D находится на расстоянии b/3 от нижней стороны.

 Сила давления на криволинейные стенки. Плавание тел

Рассмотрим силу, действующую на криволинейную цилиндрическую стенку, которая погружена в жидкость так, что ее образующие параллельны свободной поверхности жидкости (рисунок 2.7). Такие стенки распространены на практике. В этом случае задача может быть сведена к определению равнодействующей силы, лежащей в вертикальной плоскости, перпендикулярной образующим цилиндрической поверхности. Определение этой силы сводится к определению ее вертикальной и горизонтальной составляющих.

В пределах цилиндрической поверхности (см. рисунок 2.7) выделим участок АВ и найдем силу F, действующую на этот участок при условии, что на свободной поверхности жидкости существует давление р₀. Причем определим эту силу для двух случаев: жидкость расположена над цилиндрической поверхностью (см. рисунок 2.7, а) и под ней (см. рис. 2.7, б). При определении силы, действующей на стенку, будем учитывать, что со стороны стенки на жидкость действует такая же сила, но в противоположном направлении.

Для определения силы F в первом случае (см. рисунок 2.7, а) выделим объем жидкости, ограниченный поверхностью АВ и вертикальными плоскостями, проходящими через границы выбранного участка. На рисунке 2.7, а эти плоскости отображены линиями AL и ВК. Рассмотрим условия равновесия выделенного объема в вертикальном и горизонтальном направлениях, из которых найдем вертикальную F_B и горизонтальную F_Г составляющие силы F. Навыделенный объем жидкости в вертикальном направлении, кроме силы F_B, действуют его вес G и сила давления на свободную поверхность, равная произведению давления р₀ на площадь горизонтальной проекции поверхности АВ, обозначаемую S_r. Тогда из условия равновесия найдем вертикальную составляющую

F_В = p_o S _Г + G.                                                    

При рассмотрении условия равновесия в горизонтальном направлении будем считать, что силы, действующие на поверхности ЕК и AL, взаимно уравновешены. Следовательно, на выделенный объем жидкости в горизонтальном направлении, кроме искомой силы F₁, действует только сила давления на площадь вертикальной проекции поверхности АВ, обозначаемую S_B. Ее найдем по формуле (2.4):

F_Г = p_C S_B = (p₀+h_c ρ g) S_В,                                 

где h_c -  глубина погружения центра тяжести поверхности АВ, S_B — площадь поверхности BE.

Определив по формулам (2.7) и (2.8) вертикальную F_B и горизонтальную F_Г составляющие силы F, найдем ее численное значение по зависимости

.                                                                             

Зависимости (2.7) - (2.9) получены для случая с расположением жидкости над криволинейной поверхностью. Очевидно, что при расположении жидкости снизу относительно стенки (см. рисунок 2.7, б) давления в соответствующих точках будут точно такими, как и в первом случае. Поэтому и силы, действующие на стенку (полная сила и ее вертикальная и горизонтальная составляющие), будут такими же по значению. Но направления этих сил будут противоположными, так как жидкость действует на стенку с обратной стороны. Таким образом, формулы будут справедливы и для этого случая. При этом в формулу (2.7) входит та же величина G, т.е. вес жидкости, которая заняла бы объем ABKL (выделен на рис. 2.7, б).

Полученные зависимости справедливы для цилиндрической поверхности, которая погружена в жидкость так, что ее образующие параллельны свободной поверхности. Аналогичным образом могут быть получены формулы для произвольной криволинейной поверхности. Их отличие будет в том, что полная сила F будет равна векторной сумме не двух составляющих сил (как в предыдущем случае), а трех. Причем одна из этих составляющих будет вертикальной, а две — горизонтальными и взаимно-перпендикулярными.

Определение положения точки приложения силы F, действующей на криволинейную стенку, является весьма сложной задачей, которая решается с использованием графических или численных (компьютерных) методов. Определение положения точки приложения силы F, действующей на поверхность вращения (например, цилиндрическую), упрощается, так как в этом случае линия действия силы F проходит через ось вращения поверхности.

Важной задачей при решении некоторых практических вопросов является определение силы, выталкивающей тело, погруженное в жидкость. На рисунке 2.8, а изображено тело произвольной формы, погруженное в жидкость. Рассмотрим силы, действующие на это тело в вертикальном направлении.

При рассмотрении сил, действующих на тело, условно разделим его замкнутой линией MNOR на две части: верхнюю и нижнюю. Причем линия разделения MNOR проведена так, что ее проекция и проекция тела на свободную поверхность жидкости (т. е. вертикально вверх) полностью совпадают. Обозначим вес жидкости, расположенной над телом, G₀ (на рисунке 2.8, а выделена штриховкой), а вес жидкости, вытесненной телом, — G, т.е. это вес жидкости, которая заняла бы объем погруженного тела (на рис. 2.8, а выделен затемнением).

Вертикальную силу (см. рисунок 2.8, а),действующую на нижнюю поверхность тела, определим с использованием формулы (2.7):

F_B1 = p₀ S_Г + G₀ + G,

где S_Г — площадь горизонтальной проекции тела на свободную поверхность жидкости.

Таким же образом найдем вертикальную силу (см. рисунок 2.8, а), действующую на верхнюю часть тела:

F_B2 = p₀ S_Г + G_{0 .}                                                                             

Их равнодействующая сила F_a, направленная вверх, будет равна алгебраической сумме этих сил и с учетом (2.10) и (2.11) определяется по формуле

.

Силу F_a принято называть архимедовой силой, а полученную для ее определения зависимость — законом Архимеда, согласно которому на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вверх и равная весу жидкости, вытесненной телом.

Точкой приложения этой силы является геометрический центр тела, который называется центром водоизмещения. Он может не совпадать с центром тяжести тела. Эти центры совпадают, если тело состоит из однородного и равномерно распределенного вещества. Плавающее тело будет находиться в устойчивом равновесии, когда центр водоизмещения располагается выше центра тяжести тела, и они лежат на одной вертикальной прямой (см. рисунок 2.8, б).

 Относительный покой жидкости

Под относительным покоем понимают неподвижное состояние жидкости относительно сосуда, который движется с постоянным ускорением. Например, в относительном покое может находиться жидкость в емкости, которая установлена на разгоняющейся транспортной машине (топливный бак автомобиля). В относительном покое будет также находиться жидкость в сосуде, вращающемся с постоянной скоростью.

Законы, действующие при относительном покое жидкости, принципиально не отличаются от ранее рассмотренных законов гидростатики. Но если в ранее рассмотренных случаях на жидкость действовала только одна массовая сила — сила тяжести, то при относительном покое появляется новая — сила инерции. Это приводит к изменению положения свободной поверхности жидкости и изменению давлений в различных ее точках.

Анализ относительного покоя удобно проводить для сил, действующих на условную частицу жидкости единичной массы (массой т = 1). При таком подходе сила всегда численно равна соответствующему ускорению. Например, на частицу единичной массы действует сила тяжести G = mg =1 g = g. Таким образом, математические зависимости существенно упрощаются.

Рассмотрим прямолинейное движение сосуда с постоянным ускорением (или замедлением) а. В этом случае на каждую частицу жидкости единичной массы действуют две силы: сила тяжести g сила инерции а (рисунок 2.9). Равнодействующая этих двух сил

определяет положение свободной поверхности жидкости, так как угол между этой поверхностью и силой всегда составляет 90°. Изгеометрических соображений (см. рисунок 2.9) следует, что положение свободной поверхности может быть задано углом α, значение которого найдем из отношения

tga = а/g.

Для определения давления в произвольно выбранной точке на расстоянии l от свободной поверхности используется математическая зависимость

p = p₀ + l ρ j.                               

Она получена тем же методом, что и основное уравнение гидростатики, но учитывает действие не только сил тяжести, но и сил инерции.

определяет положение свободной поверхности жидкости. Но в рассматриваемом случае центробежное ускорение является переменной величиной, так как зависит от радиуса расположения точки. Поэтому поверхность вращения принимает параболическую форму и описывается уравнением

,

где z₀ — высота расположения точки свободной поверхности относительно дна сосуда;

  h₀ — высота жидкости на оси вращения.

Формула для определения давления р в любой точке жидкости может быть получена методом, использованным в подразделе 2.1. Тогда после математических преобразований найдем давление в точке, расположенной на радиусе r и высоте z относительно дна сосуда:

.                                       

На практике часто встречается другой частный случай — вращение сосуда с очень высокой скоростью. В этом случае центробежные силы существенно больше сил тяжести и жидкость отбрасывается центробежными силами к стенкам сосуда (рисунок 2.11), а ее свободная поверхность располагается на радиусе r₀. Тогда некоторыми геометрическими величинами, входящими в формулу (2.12), можно пренебречь и формула для определения давления упрощается:

.                                                             

Следует отметить, что формула (2.14) получена для сосуда, имеющего вертикальную ось вращения, а формула (2.15) применима для вращающихся сосудов с любым расположением оси в пространстве.

4 КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА ЖИДКОСТИ