Основные понятия и определения

Уравнения кинематики и динамики жидкости весьма значительно отличаются от аналогичных уравнений для твердого тела. Это вызвано, прежде всего, особенностями исследуемого объекта - жидкости, частицы которой не имеют жесткой связи между собой. Отсутствие жесткой связи существенно усложняет рассмотрение процессов, происходящих в жидкости. Для упрощения изучения течений в гидромеханике широко используется так называемая идеальная жидкость. Под этим термином понимают гипотетическую несжимаемую жидкость, в которой отсутствуют силы межмолекулярного взаимодействия, то есть отсутствует вязкость. Тогда происходящие явления сначала исследуются применительно к идеальной жидкости, а затем полученные закономерности переносятся с введением корректирующих поправок на потоки реальных жидкостей.

Течение жидкости, как и любое другое движение, может быть установившимся и неустановившимся. Установившимся называется течение, при котором все физические параметры (скорость, давление и другие) зависят только от координат точки и остаются неизменными во времени, то есть р = f₁ (х,y,z), υ = f₂ (х,y,z), . Примером установившегося течения может служить истечение через отверстие в дне сосуда, в котором поддерживается постоянный уровень жидкости, или движение жидкости в трубопроводе, создаваемое центробежным насосом с постоянной частотой вращения вала. В частном случае установившееся течение может быть равномерным, когда скорость каждой частицы не изменяется с изменением ее координаты, и поле скоростей остается неизменным вдоль потока. При неустановившемся течении физические параметры потока (или некоторые из них) изменяются в пространстве и во времени. В общем случае неустановившегося течения давление и скорость зависят как от координат, так и от времени: р = F₁ (х,y,z,τ), v = F₂ (х,y,z,τ). Для примера можно привести рассматриваемое выше истечение, но без поддержания постоянного уровня жидкости в сосуде, то есть истечение до полного опорожнения или в напорной трубе поршневого насоса, поршень которого совершает возвратно-поступательное движение. В дальнейшем будут рассматриваться в основном установившиеся течения жидкости.

Для описания движения в механике жидкости существуют разные подходы, в которых рассматриваются различные модели сплошной среды и соответствующие им уравнения движения (Коши, Эйлера и другие). В машиностроительной гидравлике поток жидкости принято представлять как совокупность элементарных замкнутых объемов, движущихся совместно. Важное значение в этой модели имеет понятие «линия тока». Под этим термином понимают условную линию в потоке жидкости, проведенную так, что вектор скорости в любой ее точке направлен по касательной (линия 1 на рисунке 3.1). При установившемся течении линия тока совпадает с траекторией движения частицы жидкости. Необходимо также отметить, что при установившемся течении в любой точке потока существует только одна (неизменная во времени) скорость. Поэтому через данную точку может проходить только одна линия тока. Следовательно, линии тока при установившемся течении не могут пересекаться.

Если в потоке жидкости взять бесконечно малую замкнутую линию 2 (смотри рисунок 3.1), состоящую из множества точек, и через каждую из этих точек провести линию тока 3, то множество этих линий образуют трубчатую поверхность. Такую поверхность принято называть трубкой тока, а часть потока внутри этой поверхности — элементарной струйкой.

Как было отмечено ранее, при установившемся течении линии тока не пересекаются и, следовательно, ни одна линия тока не может пронизывать трубку тока (иначе она пересечет одну из линий, образующих эту трубку). Следовательно, ни одна частица жид­кости не может проникнуть внутрь трубки тока или выйти из нее. Таким образом, выделенная трубка тока при установившемся течении является непроницаемой стенкой для жидкости.

Сечениями потока (или струйки) жидкости принято называть поверхности, нормальные к линиям тока. Например, поверхность dS₁, ограниченная замкнутым контуром 2 (затемнена на рисунке 3.1), является сечением для элементарной струйки. При параллельно-струйном течении сечения представляют собой плоскости, перпендикулярные направлению движения жидкости. Сечения потоков или струй жидкости иногда также называют живыми сечениями.

Различают напорные и безнапорные течения жидкости. Напорными называют течения в закрытых руслах без свободной поверхности, а безнапорными — течения со свободной поверхностью. Примерами напорного течения могут служить течения в трубопро­водах, гидромашинах, гидроаппаратах. Безнапорными являются течения в реках, открытых каналах. В данном учебном пособии рассматриваются в основном напорные течения жидкости.

 Расход. Уравнение расхода

Расход — это количество жидкости, которое протекает через данное сечение в единицу времени. Количество жидкости можно измерять в единицах объема, массы или веса. Поэтому различают объемный Q (м³/с), массовый Q_Ькг/с) и весовой Q_G (Н/с) расходы.

       Для элементарной струйки, имеющей бесконечно малые площади сечений, можно считать скорость υ одинаковой во всех точках сечения. Следовательно, объемный расход для элементарной струйки dQ = υ dS.

Основываясь на законе сохранения вещества и полагая, что течение внутри элементарной струйки является сплошным и неразрывным, можно утверждать, что для установившегося течения несжимаемой жидкости 

dQ = υ₁ dS₁ = υ₂ dS₂ = const.                                      

       Это уравнение называется уравнением объемного расхода для элементарной струйки.

       Для потока конечных размеров скорость в общем случае имеет различные значения в разных точках сечения, поэтому расход определяют как сумму элементарных расходов струек, составляющих поток.

       На практике удобнее определять расход через среднюю по сечению потока скорость υ_ср = Q / S, откуда Q = υ_ср ·S.

       Очевидно, что и для потока конечных размеров при условии его сплошности и неразрывности будет выполняться условие постоянства объемного расхода вдоль потока, то есть

                                                       Q = υ_ср1 ·S₁ = υ_ср2 ·S₂ = const.                                  

       Из последнего уравнения следует, что средние скорости в потоке несжимаемой жидкости обратно пропорциональны площадям сечений

                                                                   .                                                    

       Полученные уравнения расходов (3.1) и (3.3) являются следствием общего закона сохранения вещества.

 Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости

Рассмотрим установившееся течение элементарной струйки идеальной жидкости, находящейся под действием лишь одной массовой силы — силы тяжести (рисунок 3.2). В рассматриваемом случае в жидкости могут действовать нормальные напряжения сжатия (давление), но не могут действовать касательные напряжения (трение), так как у жидкости отсутствует вязкость.

Для вывода уравнения Бернулли выберем два сечения 1—1 и 2—2, а также произвольную горизонтальную поверхность О—О. Будем считать, что в сечении 1—1 площадью dS₁  скорость жидкости υ₁ и действует давление р₁,а его центр тяжести располагается на высоте z₁ относительно выбранной поверхности 0 - 0. Сечение 2—2 характеризуется аналогичными параметрами, но с индексом «2» (dS₂, υ₂, р₂ и z₂).

Пусть за время dτ участок струйки, ограниченный сечениями 1—1 и 2—2, сдвинулся и занял новое положение, ограниченное сечениями 1'—1' и 2'—2'. Тогда первое сечение переместилось на расстояние dl_1, а второе сечение — на расстояние dl₂. При этом можно условно считать, что часть ограниченного объема жидкости осталась на месте (объем между сечениями 1—1 и 2—2), а другая часть между сечениями 1—1 и 1'—1' (на рисунке 3.2 затемнена) переместилась на место между сечениями 2—2 и 2'—2' (на рисунке 3.2 также затемнена), т. е. объемы затемненных участков равны:

.

Следовательно, равны и массы этих объемов (dm), а также одинаковы их веса (dG).

Для вывода уравнения Бернулли применим к жидкому телу, находящемуся между сечениями 1— 1 и 2—2, теорему механики об изменении кинетической энергии, согласно которой изменение кинетической энергии тела равно работе сил, приложенных к этому телу.

Как следует из сказанного ранее, кинетическая энергия участка жидкости между сечениями 1'—1' и 2—2 за время dτ не изменилась, так как этот участок условно можно считать неподвижным. Тогда изменение кинетической энергии всего жидкого тела будет определяться разностью кинетических энергий выделенных объемов (участков, затемненных на рисунке 3.2), а точнее, изменением их скоростей, так как их массы одинаковы, т. е.

Работу за отмеченный промежуток времени совершают силы тяжести и силы давления. При оценке работы сил тяжести также будем учитывать условную неподвижность участка жидкости между сечениями 1'—1' и 2—2. Тогда работа сил тяжести A_G определится перемещением веса dG на расстояние (z₁ – z₂):

A_G =dG (z₁ – z₂).

Работа сил давления A_p будет складываться из двух величин: (работы положительной силы и работы отрицательной силы). Первая, равная произведению давления p_l на площадь dS₁, способствует сдвигу сечения 1—1 на расстояние dl₁, а вторая, равная произведению давления р₂ на площадь dS₂, препятствует перемещению сечения 2—2 на расстояние dl₂, то есть

.

Приравняв сумму работ сил тяжести A_G и давления A_p к изменению кинетической энергии тела Е_к, получим

.

Разделим каждый член последнего уравнения на вес dG. После математических преобразований, учитывая, что dG = dm·g = dV·ρ·g,получим

,                                               

где z – геометрический напор, м;

р / ρ·g – пьезометрический напор, м;

υ² / 2g – скоростной напор, м.

Полученное уравнение называется уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости. Оно было получено Даниилом Бернулли в 1738 году.

Трехчлен вида

называется полным напором.

       Уравнение Бернулли (3.5) записано для двух произвольно выбранных сечений. Очевидно, что для любого другого сечения этой же струйки полный напор будет иметь то же значение:

.

       Таким образом, для идеальной движущейся жидкости сумма трех напоров: геометрического, пьезометрического и скоростного есть величина постоянная вдоль струйки.