Расчет устойчивости замкнутой системы

1. С помощью передаточной функции разомкнутой системы (4) записать характеристическое уравнение замкнутой системы (6).

2. Составить матрицу Гурвица (7) и найти условия устойчивости замкнутой системы для закона управления № 6 по коэффициентам , , .

Полагая ,  найти область устойчивости по коэффициенту . Выбрать значение коэффициента  из данной области устойчивости и при его фиксированном значении построить область устойчивости по коэффициентам ,  с помощью полученных неравенств из критерия Гурвица или с помощью графо-аналитического способа на основе неравенства (20).

Для использования графо-аналитического способа необходимо построить годограф  с помощью одной из программ, составленных в Script-файле для заданного варианта системы:

% Вариант 1. Система стабилизации скорости

%Исходные данные системы

 ktg=0;%коэффициент тахогенератора равен 0 или 0.8

 k1=100;k2=1e-20;k3=1e-20;%ввод параметров регулятора (k2=0, k3=0)

 ky=10;kp=0.1;kdv=0.1;kdvf=0.001;

 Ty=0.01;Tdv=1;T=0.005;

 %Передаточные функции

 Wy=tf([ky],[Ty 1]);% усилитель

 Wdv=tf([kdv],[Tdv 1]);% двигатель

 k1W=k1*Wy*Wdv/(1+Wy*Wdv*ktg)*kp% разомкнутая k1*W(p)

 Wpeg=k1+tf([k2 0],[1])+tf([k3],[1 0]);% идеальный регулятор

%АФЧХ для k1*W(p) и смещенная окружность

 figure(1);nyquist(k1W,{0.7,100});hold on;

 w=1.e-5:0.01:1000;p=i*w;

 plot(-sign(k1)*(sign(k1)+sign(k2)*p+sign(k3)./p).^(-1)+i*1e-9);

%Вычисление корней замкнутой системы без регулятора

 W=Wy*Wdv/(1+Wy*Wdv*ktg)*kp;

 pn=esort(tzero(1+W))

%Вычисление корней замкнутой системы с регулятором

 Wpas=Wpeg*Wy*Wdv/(1+Wy*Wdv*ktg)*kp;

 pg=esort(tzero(minreal(1+Wpas)))

%Построение переходной характеристики системы с регулятором

 figure(2);tk=5;step(Wpas/(1+Wpas),tk);hold on;

 t=0:0.1:tk;y1=1.05+0*t;y2=0.95+0*t;

 plot(t,y1,'k--',t,y2,'k--');grid on;

Текст программы Варианта 2 совпадает с Вариантом 1, в котором необходимо оператор выделенный жирным шрифтом заменить на оператор

Wdv=tf([kdv],[Tdv 1 0]);% двигатель

Приведенный текст программы можно скопировать из электронной версии лабораторной работы и вставить в рабочее поле m-file, которое открывается при нажатии левой верхней кнопки в среде MATLAB. Затем выполнить программу (после присвоения ей имени из латинских букв и цифр без пробелов) нажатием кнопки со стрелкой  (Run) на панели инструментов m-file. При этом вычисленные переменные в Script-файле являются глобальными и доступны в любом другом Script-файле, а также в среде MATLAB.

В программе также осуществляется вычисление корней характеристического уравнения замкнутой системы без регулятора и с регулятором, которые выводятся в рабочей среде MATLAB, и строится переходная характеристика замкнутой системы с регулятором.

В качестве примера рассмотрим вариант 2 с заданными параметрами, для которого на рис. 10 представлена АФЧХ , на рис. 11 – переходная характеристика

;

корни характеристического уравнения замкнутой системы: без регулятора для уравнения  равны 0,113; 0,886; 100; с регулятором для уравнения  равны 0,45  3,13; 100.

Из полученных результатов следует, что для передаточной функции разомкнутой системы  замкнутая система устойчива, но обладает плохими динамическими свойствами.

Параметры , a, b в формуле (20) определяются из графика рис. 10 при движении курсора по характеристике  до точки пересечения, в которой найдены значения , , , по которым согласно неравенству (20) для принятого коэффициента  найдем условие устойчивости  при , . Следует иметь ввиду, что вторая ветвь характеристики построена для  и в расчетах не учитывается.

                    Рис. 10                                                   Рис. 11

Экспериментальная часть

1. Пользуясь методикой п.п. 1.3, полагая , , с помощью приведенной выше программы провести выбор коэффициентов , , обеспечивающих наименьшие значения ,  при выполнении условий с, %.

2. Для анализа качества системы с реальным ПИД-регулятором с передаточной функцией  воспользоваться моделью рис. 12, составленной в системе Simulink в соответствии со структурной схемой рис. 9, Здесь параметры системы назначаются в результате выполнения приведенной выше программы. Коммутация входного сигнала и заданного выхода системы осуществляется с помощью ключа "К" и "К1" соответственно. Параметры входного сигнала  и возмущения  назначаются в соответствующих блоках.

3. Промоделировать систему для различных входных воздействий в соответствии с таблицей 4 и занести в нее результаты моделирования.

Таблица 4. Результаты моделирования

№ п/п		, Нм	, В	, с	, %
1	+	–
2	–	+
3	+	+

Примечание. В таблице знак "+" означает наличие входного сигнала, а знак "–" его отсутствие. Для системы стабилизации скорости входной сигнал , для следящей системы – .

4. Нарисовать график переходного процесса для п.1 таблицы 4 (по выходу  (рис. 2) для системы стабилизации скорости; по ошибке  (рис. 3) для следящей системы), указав на нем прямые показатели качества.

Рис. 12

5. С помощью моделирования для варианта №1 таблицы 4 оценить влияние коэффициента передачи тахогенератора  на прямые показатели качества для двух значений: , . При необходимости доопределить значения коэффициентов , ,  и сделать выводы.

Контрольные вопросы

1. Каким способом можно измерить скорость изменения входного сигнала?

2. В чем отличие времени регулирования от времени нарастания переходной характеристики?

3. Почему в установившемся режиме знак рассогласования совпадает со знаком входного сигнала?

4. Как зависят показатели качества переходной характеристики замкнутой системы от значений коэффициентов ПИД-регулятора?

5. Как влияют на запас устойчивости системы дифференциальная и интегральная составляющие в ПИД-регуляторе?

6. Как можно настроить параметры ПИД-регулятора?

7. Какой порядок астатизма в замкнутой системе необходимо обеспечить на входное воздействие ?

8. Можно ли добиться астатизма в системе на входное воздействие ?

9. Зависит ли астатизм системы от изменения параметров САУ, если при этом сохраняется устойчивость системы?

10. Для систем какого порядка можно всегда обеспечить устойчивость замкнутой системы с помощью ПИД-регулятора?

Список литературы

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. – С.-Петербург: изд. «Профессия», 2003.