Критерии устойчивости замкнутой системы

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7

МОДЕЛИРОВАНИЕ САУ И НАСТРОЙКА ПАРАМЕТРОВ

РЕГУЛЯТОРА ПО ПРЯМЫМ ПОКАЗАТЕЛЯМ КАЧЕСТВА

Казань 2007

Содержание

1. Общие сведения. 3

1.1 Критерии устойчивости замкнутой системы.. 5

  1.2 Прямые показатели качества замкнутой системы.. 7

  1.2.1 Установившаяся ошибка. 9

  1.2.2 Устойчивость замкнутой системы.. 12

1.3 Методика настройки параметров регулятора. 16

2. Расчетная часть. 17

2.1 Расчет установившейся ошибки. 20

2.2 Расчет устойчивости замкнутой системы.. 20

3. Экспериментальная часть. 23

Список литературы.. 25

Цель работы: исследование влияния законов управления, местных обратных связей, параметров системы автоматического регулирования на устойчивость, установившуюся ошибку регулирования и качество переходных процессов.

Общие сведения

Рассматривается типовая система автоматического управления (САУ), структурная схема которой приведена на рис.1, где  – входная величина,  – выходная (регулируемая) величина,  – рассогласование (ошибка регулирования). Объектом управления (ОУ) является подсистема с передаточными функциями , .

Рис. 1

Управляющее воздействие  формируется в управляющем устройстве (регуляторе), как функция от ошибки и имеет следующий вид:

                                                          (1)

или в операторной форме записи:

                         ,                     (2)

где  – передаточная функция регулятора в преобразованиях Лапласа,  – соответствующие коэффициенты усиления.

Законы управления вида (2) широко используются в промышленных регуляторах. В зависимости от закона управления (комбинации составляющих сигналов в выражении управляющего воздействия) различают типы регуляторов, сведенные в таблицу 1.

Таблица 1.

№	Наименование регулятора
1	Пропорциональный (П)
2	Дифференциальный (Д)
3	Интегральный (И)
4	Пропорционально-дифференциальный (ПД)
5	Пропорционально-интегральный (ПИ)
6	Пропорционально-интегро-дифференциальный (ПИД)

Примечание. Звено с передаточной функцией  физически нереализуемо, поэтому на практике используется приближенная передаточная функция , где  – малая постоянная времени.

Критерии устойчивости замкнутой системы

Для структурной схемы рис. 1 передаточную функцию разомкнутой системы

                                         ,                                    (3)

запишем в общем виде

                     , .                 (4)

Тогда передаточная функция замкнутой системы для выхода  от входа  будет иметь вид:

                      .                  (5)

В линейной системе свойство устойчивости не зависит от вида входного воздействия , а определяется корнями характеристического уравнения замкнутой системы:

                      .                  (6)

Коэффициенты  полинома  зависят от параметров системы, в число которых входят постоянные времени и коэффициенты передачи объекта управления и регулятора.

Для исследования устойчивости можно воспользоваться любым из критериев, имеющих необходимый и достаточный характер: Гурвица, Михайлова, Найквиста.

1. Для систем невысокого порядка в аналитических расчетах удобно использовать критерий Гурвица.

Для того чтобы все корни характеристического уравнения (7) имели отрицательные вещественные части (замкнутая система была устойчива), необходимо и достаточно, чтобы при  главные диагональные миноры  матрицы Гурвица

                                                                        (7)

удовлетворяли неравенствам , т.е. , ….

Исследование влияния параметров системы на устойчивость проводится путем анализа неравенств критерия Гурвица.

2. Для систем высокого порядка удобно пользоваться критерием Найквиста, с помощью которого можно судить об устойчивости замкнутой системы с передаточной функцией (5) по виду АФЧХ  разомкнутой системы, которая может быть получена экспериментальным путем при исследовании ОУ.

Критерий Найквиста для физически реализуемых систем ( ) формулируется следующим образом:

для устойчивости замкнутой системы с единичной обратной связью необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ  разомкнутой системы охватывала точку  с учетом знака в сумме  раз, где  число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы .

При этом следует считать, что при наличии  нулевых корней уравнения  характеристика  при  дополняется дугой бесконечно большого радиуса с раствором угла , т.е. начинается на вещественной положительной полуоси с бесконечно большого значения.

Положительный охват соответствует повороту радиус-вектора относительно точки  на угол  против часовой стрелки (по часовой стрелке – отрицательный охват). Принятые знаки поворота радиус-вектора объясняются тем, что углу , отложенному от вещественной положительной полуоси, в первом квадранте соответствует  и, следовательно, , а в четвертом квадранте  и, следовательно, .

При прохождении АФЧХ  через точку  при некотором значении  замкнутая система имеет пару чисто мнимых корней. Это следует из условия , которому соответствует уравнение

                              ,                          (8)

где характеристическое уравнение замкнутой системы  имеет пару мнимых корней . Если при этом остальные корни уравнения (6) имеют отрицательные вещественные части, то система находится на границе колебательной устойчивости.