Прямые показатели качества замкнутой системы

Для оценки свойств переходных процессов устойчивой системы используется график реакции выхода системы на ступенчатое воздействие ,  при нулевых начальных условиях. Пример реакции  при  приведен на рис. 2.

Здесь определяются следующие прямые показатели качества:

1) установившаяся ошибка ;

2) время регулирования  – минимальное время, по истечении которого выходная координата  входит в трубку величиной  и не покидает ее, т.е. выполняется условие  для  (обычно );

                                                    Рис. 2

3) перерегулирование , которое определятся по формуле

                                          %.                                     (9)

4) время нарастания  – минимальное время, при котором .

Наилучшим считается процесс с наименьшими значениями указанных показателей качества.

Наряду с переходной характеристикой рис. 3 для анализа качества переходных процессов можно использовать функцию ошибки . Типовой переходный процесс по ошибке при ступенчатом входном воздействии  для  приведен на рис. 3, который может быть построен по рис. 2.

Здесь указанные выше прямые показатели качества с учетом равенства ,  можно переписать следующим образом:

                                                      Рис. 3

1) установившаяся ошибка ;

2) время регулирования  – минимальное время, по истечении которого  входит в трубку величиной  и не покидает ее, т.е. выполняется условие  для ;

3) величина перерегулирования  с учетом равенства  записывается в виде

                                           .                                                

Рассмотрим возможности закона управления (2) для достижения заданных показателей качества замкнутой системы.

Установившаяся ошибка

Установившаяся ошибка устойчивой системы может быть найдена по теореме о конечном значении оригинала

                                      ,                                (10)

если известно, что существует предел . Здесь изображение ошибки по Лапласу  определяется по формуле

                                         ,                                  (11)

а) Пусть задающее воздействие является ступенчатой функцией , соответственно . Тогда получим изображение ошибки

.

Полагая , где  – коэффициент усиления разомкнутой системы, найдем

                                                             .                            (12)

Значение ошибки  называется статической ошибкой. Системы, у которых статическая ошибка не равна нулю, называются статическими по отношению к заданному входному воздействию. Системы, у которых статистическая ошибка равна нулю, называются астатическими. Астатизм системы обусловлен наличием в разомкнутой системе интегрирующих звеньев, т.е. ее передаточная функция может быть представлена в виде:

                                            ,

где  – порядок астатизма, полином  не имеет нулевых корней.

Действительно, в этом случае при постоянном входном воздействии получим

                                .

б) Если входное воздействие является линейно нарастающей функцией времени , соответственно , и степень астатизма  (астатизм первого порядка), то

                          ,                    (13)

где ,  – называется скоростной ошибкой.

В этом случае изображение скорости выхода  можно записать в виде

                                        .                                  (14)

Оригинал  изображения (14) является реакцией на ступенчатое воздействие , для которой аналогично рис. 2 можно использовать рассмотренные показатели качества. При этом установившееся значение скорости ошибки

              .        (15)

Для ошибки  справедливо равенство  и максимальное значение ошибки  зависит от времени нарастания : чем меньше , тем меньше .

Для системы с астатизмом второго порядка ( ) в этом случае установившаяся ошибка, очевидно, равна нулю.

Астатизм системы может быть реализован как введением интегрального закона регулирования (№ 4, 6, 7 таблицы 1), так и наличием интегрирующих звеньев в передаточной функции .

Таким образом, установившаяся ошибка согласно выражениям (12), (13) зависит от коэффициента передачи разомкнутой системы , т.е. чем больше его значение, тем меньше установившаяся ошибка.