Устойчивость замкнутой системы

Рассмотрим отдельно свойство устойчивости системы с законом управления № 4, №5 и № 6 таблицы 1 в сравнении с законом управления №1 при , , .

Будем полагать, что замкнутая система с передаточной функцией  устойчивая и годограф  в области высоких частот имеет вид годографа-1 на рис. 4. При увеличении коэффициента  система приближается к границе устойчивости и становится неустойчивой (годограф-2).

1. Для закона управления № 4 передаточную функцию (3) разомкнутой системы можно представить в виде

                                        ,                                 (16)

где .

Найдем условие, при котором замкнутая система с передаточной функцией (16) выходит на границу устойчивости. Согласно (8) получим уравнение

                                           ,                                    (17)

которое графически на рис. 4 означает пересечение годографов  (годограф-2) и  (годограф-0) при изменении  в точке А при .

                     Рис. 4                                                       Рис. 5

Найдем область устойчивости по коэффициенту . Для этого левую часть уравнения (17) представим в виде

                                             ,                                      (18)

где значения , a, b определяются из графика рис. 4. Тогда получим уравнение

,

из которого найдем ,  и, следовательно, . Отсюда получим критический коэффициент усиления , при котором замкнутая система находится на границе устойчивости. Поскольку при  (например, при ) для годографа-2 система неустойчивая, то при  система устойчивая и, следовательно, закон управления № 4 расширяет область устойчивости системы по коэффициенту .

Годограф-1 не пересекается с годографом-0, следовательно, замкнутая система устойчива при .

2. Для закона управления № 5 передаточную функцию (3) разомкнутой системы можно представить в виде

                                    .                              (19)

Найдем условие, при котором замкнутая система с передаточной функцией (19) выходит на границу устойчивости. Согласно (8) получим уравнение

                                        ,                                            

которое графически на рис. 5 означает наличие пересечения годографов  (годограф-1) и  (годограф-0) при изменении  в точке А при .

Найдем область устойчивости по коэффициенту . Для этого с учетом представления (18) из уравнения

,

найдем ,  и , где значения , a, b определяются из графика  на рис. 5. Следовательно, при  замкнутая система находится на границе устойчивости. Поскольку при  (например, при ) система устойчивая, то при  система неустойчивая и, тем самым, закон управления № 5 ссужает область устойчивости системы по коэффициенту . Так, например, для годографа-2 замкнутая система неустойчивая при .

3. Для закона управления № 6 передаточную функцию (3) разомкнутой системы можно представить в виде

                            ,                      (20)

Найдем условие, при котором замкнутая система с передаточной функцией (20) выходит на границу устойчивости. Согласно (8) получим уравнение

                                 ,                                      

которое графически на рис. 6 означает наличие пересечения годографов  (годограф - 1) и  (годограф - 0) при изменении  в точке А при .

                         Рис. 6                                          Рис. 7

Найдем область устойчивости по коэффициентам , . Для этого с учетом представления (18) из уравнения

,

получим

, , ,

где , a, b определяются из графика  на рис. 6. Следовательно, при  замкнутая система находится на границе устойчивости.

Согласно предыдущему условие устойчивости замкнутой системы определяется неравенством

                                        .                                 (20)

Если годограф-1 пересекает годограф-0 в двух точках (рис. 7), то область устойчивости оценивается неравенствами:

                                       ,

                                      ,

где параметры  соответствуют т. А, параметры  соответствуют т. В.

Таким образом, при заданном коэффициенте  можно найти область устойчивости замкнутой системы по коэффициентам , .

Следует отметить, что рассмотренный способ в отличие от критерия Гурвица можно использовать для систем высокой размерности и с учетом запаздывания.