Положение точки в пространстве

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВВЕДЕНИЕ

Профессиональная деятельность инженера любой специальности непредставима без знания оборудования, применяемого на производстве, что, несомненно, требует умения выполнять и читать чертежи. Дисциплина «Начертательная геометрия» является теоретической основой выполнения чертежей, и, естественно, необходимой составляющей дисциплины «Инженерная графика».

При изучении курса начертательной геометрии студенты довольно часто испытывают трудности не только в освоении теоретических основ, а также и при решении типовых метрических и позиционных задач.

Этому можно найти объяснение, с одной стороны пробелами в школьной графической подготовке, а с другой стороны – наглядные чертежи, поясняющие теоретические или графические решения конкретных задач, являются лишь конечным результатом выполнения целого ряда построений, последовательность которых трудно без подготовки проследить от начала до конца.

Целью создания настоящего учебного пособия является систематизация основных теоретических положений курса начертательной геометрии, при кратком его изложении, соответствующих учебным планам и рабочим программам по ФГОС для студентов технических направлений подготовки всех форм обучения, с практическими рекомендациями по выполнению построений для решения типовых задач.

ПРИНЦИПЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ

Начертательная геометрия – это раздел геометрии, в которой пространственные геометрические объекты изучаются методами проецирования.

Проецирование – процесс получения проекций.

Проекцией простейшего геометрического объекта – точки – называется место пересечения проецирующего луча, исходящего из центра проецирования – S, проходящего через объект проецирования с поверхностью проецирования.

Если поверхность проецирования представляет собой сферу – проецирование – сферическое (пример: планетарий, роспись храмовых куполов, реклама на сферических поверхностях).

Если поверхность проецирования цилиндрическая – проецирование цилиндрическое (пример: широкоформатный кинотеатр, панорамы, рекламы на цилиндрических поверхностях)

Ортогональное проецирование имеет дело с плоскими поверхностями.

Если источник проецирующих лучей точечный, совокупность проецирующих лучей, проходящих через объекты проецирования, образует коническую поверхность (конической поверхностью называется поверхность, образующаяся в результате движения одной из точек прямолинейной образующей, положение другой точки которой фиксировано, по направляющей сколь угодно сложной формы). Такое проецирование называется центральным или коническим (рис. 1).

Если источник проецирующих лучей удален в бесконечность, то проецирующие лучи можно считать параллельными. Совокупность проецирующих лучей, проходящих через объекты проецирования, образует цилиндрическую поверхность (цилиндрической называется поверхность, образующаяся в результате движения образующей параллельно самой себе по направляющей сколь угодно сложной формы). Такое проецирование называется параллельным или цилиндрическим (рис. 2).

Если проецирующие лучи образуют с плоскостью проекций угол, отличный от прямого, проецирование называется косоугольным (рис.2).

Если проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций – проецирование прямоугольное или ортогональное. В этом случае можно сказать, что проекция точки – это основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость проекций (рис.3).

Однако положение одной проекции не определяет положение точки в пространстве. Если две, или несколько точек расположены вдоль одного проецирующего луча, их проекции совпадут.

Для того чтобы достоверно определить положение точки в пространстве, используют метод, изобретенный в VIII веке французским математиком Гаспаром Монжем, – метод проецирования на две или три плоскости проекций.

Для этого пространство разбивается тремя взаимно перпендикулярными плоскостями на 8 октантов (рис. 4).

H      горизонтальная плоскость проекций.

V          фронтальная плоскость проекций.

W        профильная плоскость проекций.

Линии пересечения плоскостей проекций называются осями координат.

При пересечении горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций образуется ось x (H  V → ox). Положительное направление оси x – влево. Ось x иначе называется осью абсцисс. А координата x – абсциссой.

При пересечении горизонтальной и профильной плоскостей проекций образуется ось y (H  W → oy). Положительное направление оси y – перпендикулярно фронтальной плоскости проекций и направлено на наблюдателя. Ось y иначе называется осью ординат. А координата y – ординатой.

При пересечении фронтальной и профильной плоскостей проекций образуется ось z (V  W → oz). Положительное направление оси z – вверх. Ось z иначе называется осью аппликат. А координата z – аппликатой.

На рис. 4 кроме обозначения плоскостей проекций и осей координат, показана нумерация октантов.

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ

Расстояние от точки до плоскостей проекций определяет положение точки в пространстве.

Координата x – определяет расстояние от точки до плоскости проекций W.

Координата y – определяет расстояние от точки до плоскости проекций V.

Координата z – определяет расстояние от точки до плоскости проекций H.

Для построения горизонтальной проекции точки опустим из точки перпендикуляр на горизонтальную плоскость проекций H. Положение горизонтальной проекции точки будет определяться ее расстоянием от плоскостей проекций W и V, т. е. координатами x и y_H. A′(x,y_H) (рис. 5).

Для построения фронтальной проекции точки опустим из точки перпендикуляр на фронтальную плоскость проекций V. Положение фронтальной проекции точки будет определяться ее расстоянием от плоскостей проекций W и H, т. е. координатами x и z. A″(x,z)(рис. 5).

Для построения профильной  проекции точки опустим из точки перпендикуляр на профильную плоскость проекций W. Положение профильной проекции точки будет определяться ее расстоянием от плоскостей проекций V и H, т. е. координатамиy_W и z.  A″′(y_W,z)(рис. 5).

Повторим:

Проекция на горизонтальную плоскость проекцийH

–A′(x,y_H).

Проекция на фронтальную  плоскость проекцийV

–A″(x,z).

Проекция на профильную плоскость проекцийW

–A″′(y_W,z).

Такая система передачи информации о положении точки в пространстве достаточно наглядна, но сложна для анализа информации и решения практических задач. Поэтому на практике чаще всего передают информацию об объекте на плоском изображении, называемом эпюр.

Эпюр – это изображение, полученное в результате совмещения плоскостей проецирующего аппарата с картинной плоскостью (рис. 6). Картинной плоскостью называется плоский носитель, на котором выполняется изображение.

Задача

По заданным координатам точки A(40,20,30)построить ее проекции.

Решение(рис. 7)

Совместим фронтальную плоскость проекций с картинной плоскостью. При этом ось z получит положительное направление вверх, а ось x – влево. Положении фронтальной проекции точки А″ определяется легко. Значение координаты x отложим вдоль оси x, а значение координаты z– вдоль оси z. На пересечении линий проекционных связей определится положение фронтальной проекции А″.

Горизонтальная плоскость проекций при этом располагается перпендикулярно картинной плоскости. Для совмещения плоскости Н с картинной повернем ее вокруг оси x так, чтобы ось y получила положительное направление вниз. После определения координат x_A и y_A положение горизонтальной проекции точки А′ строится просто – на пересечении линий проекционной связи.

Профильная плоскость проекций при этом располагается перпендикулярно картинной плоскости. Для совмещения плоскости проекций W с картинной повернем ее вокруг оси z так, чтобы ось y получила положительное направление вправо.

Графический алгоритм решения задачи следующий:

1) Провести и обозначить оси проекций;

2) Отложить на осях координат x, y и z в выбранном масштабе отрезки, равные соответственно значениям координат |OA_x| = x_A = 40, |OA_yH| = |OA_yW| = y_A = 20, |OA_z| = z_A = 30;

3) Через полученные точки A_x, A_y и A_z провестилинии проекционной связи перпендикулярно осям проекций;

4) Точки пересечения линий проекционной связи определят положение проекций точки A.

5) Проверка: A′ и A″ должны находиться на одном перпендикуляре к оси x. A″ и A″′ должны находиться на одном перпендикуляре к оси z.

Нетрудно заметить, что положение точки в пространстве вполне определяется положением двух ее проекций, поскольку положение двух проекций точки определяется значением всех трех координат.

Таким образом, вполне возможно определение положения точки в пространстве не численным, а графическим заданием координат.

Положение точки в пространстве

Точки могут располагаться в любой области пространства. Для понимания того, в каком октанте пространства находится точка, достаточно понять положительное или отрицательное значение принимает каждая из координат (табл. 1).

Таблица 1

Примеры эпюров точек, расположенных в различных октантах, представлены на рис. 8.

Рис. 8

Если значение одной из координат равно 0, то точка принадлежит плоскости проекций (рис. 9).

Если z_А= 0, т. е. расстояние от горизонтальной плоскости проекций равно 0, то А  Н.

Если y_A= 0, т. е. расстояние от фронтальной плоскости проекций равно 0, то А  V.

Если x_A= 0, т. е. расстояние от профильной плоскости проекций равно 0, то А  W.

Рис. 9

Если значения двух координат равно 0, то точка принадлежит оси координат (рис. 10).

Если y_A = z_A = 0, то A  ox.

Если x_A = z_A = 0, то A  oy.

Если x_A = y_A = 0, то A  oz.

Рис. 10

Если же все три координаты равны 0, то точка находится в начале координат.