Множества и операции над ними.

Множества – совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-то признаку.

Объекты из которых состоит множество, называются элементами. Множества принято обозначать заглавными латинскими буквами А,B,C…,а их элементы - малыми буквами .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называетсяпустым множеством.

Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены.

Множество А называется подмножеством В, если каждый элемент множества А является элементом множества В.

Множества А и В равны или совпадают, если они состоят из одних и тех же элемнтов.

Объединение – множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств.

Пересечение – множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и множеству В.

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.

Множество К содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью.

Предел последовательности.

Число а называется пределом последовательности, если для любого положительного числа Е найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется равенство:

. В этом случае пишут и говорят, что последовательность {x_n}имеет предел, равный числу а. говорят,что последовательность сходится к а.

Коротко определение предела: .

Сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, неимеющая предела, называется расходящейся.

Если =0 =>последовательность бесконечно малая.

Если =  =>бесконечно большая.

=> .

- окрестности точки а.

Теоремы о пределах последовательности.

Теорема 1: (необходимый признак числовой последовательности):

если последовательность сходится, то она ограничена. , если последовательность неограниченна, то она расходится.

Теорема Вейерштрасса: сформируем достаточный признак числовой последовательности: всякая ограниченная монотонная последовательность имеет предел.

Теорема: если две последовательности {x_n}и {y_n}сходятся, т.е. имеют конечные пределы, то сходятся также сумма, разность, произведение, частное этих последовательностей, т.е.:
=> и тд.

Теорема: если и начиная с некоторого номера выполняется неравенство x_n y_n, то а b.

Доказательство:
допустим, что а>b. Из равенств следует, что для любого >0 найдется такое натуральное число N( ), что при всех n>N( ) будут выполняться неравенства и т.е.

и . Возьмем . Тогда: отсюда следует, что x_n>y_n, это противоречит условию x_n y_n следовательно, а b.

Предел функции.

Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке:

Определение ( по Коши): число А называется пределом функции в точке х₀, если для любого положительного найдется такое положительное число , что для всех х х₀ , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Коротко это определение:

.

Определение (по Гейне):

Число А называется пределом функции  в точке х0, если для любой последовательности допустимых значений аргумента хn, сходящейся к х0, последовательность соответствующих значений функции , , сходится к числу А.

Односторонние пределы:
число А называется пределом функции  слева в точке x₀, если для любого число >0 существует число = ( )>0 такое, что при выполняется неравенство .

Предел слева записывают так:

Аналогично определяется предел функции справа:

.

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.

Предел функции при :

Число А называется пределом функции при , если для любого положительного числа  существует такое число М=М( ) >0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство . Коротко: