Метод Гаусса. Произвольные СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли.

Система уравнений (СУ), содерж m-уравнений и n-неизвестных наз. системойвида a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b₁ … a_M1x₁+a_M2x₂+…+a_Mnx_n=b_m, где a_ij – коэф системы и изменяется от 1 до n. Расширенной матрицей наз матрица, сост из исходной матрицы А и свободных .

Решением системы наз n значений неизвестных x₁=c₁ … x_n=c_n, при подстановке которых все ур-ия системы обращаются в верное равенство.

Система уравнений наз. совместной, если имеет хотя бы одно решение, иначе она несовместна. Совместная система наз. определённой, если она имеет единственное решение.

Системы наз. равносильными, если они имеют одно и то же решение.

Замечание: эквивалентные системы получаются при элементарных преобразованиях при условии, что преобраз вып только под строками.

СЛАУ наз однородной, если все свободные члены=0.

Теорема Кронекера-Капелли: система лин алг ур-ий совместна, когда rangA=rang (волнистая). Теорема: если rang совместной системы= числу неизвестных, то система имеет одно решение. Теорема: если ранг совмест сист < числа неизвестных, то система имеет бесконеч решений.

Правило решения СУ.

1)найти ранг основной и расширенной матрицы (если rA не =rA с крыш, то система несовместна.

 2) если rA=rA с крыш и =r, то система совместна и надо найти базисный минор порядка r.

3)Берём r ур-ий из коэф которых составлен базисн минор. Остальные ур-ия отбрасываем. Неизвестные, коэф которых входят в минор наз главными. Из оставл слева, а остальные (n-r) – справа.

4)Найти выражения главных неизв через свободные. Получено общее решение системы

5)Придавая свободным низвестным произвольное значение, получим соотв значения главн неизв, т.е. найдём частные решения.

Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений.

АХ=В – система и параллельно рассмотрим систему АХ=0. (АХ=В – Неоднородн. СЛАУ, АХ=0 – однородн. СДАУ).

Одновременно выполняется:

1. АХ=0 имеет тольок тривиальное решение, АХ=В имеет единственное решение или не имеет решений совсем.

2. АХ=0 имеет нетривиальное решение, АХ=В имеет бесконечное число решений.

Рассмотрим подробнее 2-ой случай: r(A) = r(A с волной сверху)<m..

M – r(A) – дефект, количество свободных неизвестных.

Пример:

,

б.м: х₁, х₂

св.м: х₃, х₄.

х₂ + х₃ +2х₄ = 1., х₂ = 1 – а – 2b, х₃ = а, х₄ = b.

х₁ = -2х₂ – х₃ + х₄ + 1 = -2 + 2а +4b – а + b+1 = -1 + а + 5b.

Ответ: (-1 + а + 5b., 1 – а – 2b , а, b)^Т.

Хо – общее решение ОСЛАУ

Х (с волной) – общее решение НСЛАУ

Векторы на плоскости и в пространстве. Операции над векторами.

Вектор– направленный отрезок, т.е. раз есть слово отрезок, значит есть начало и конец.

1. перенос отрезка при помощи параллельного переноса, не изменяет вектор.

2. вектор задается «длиной вектора» и направления.

3. если у вектора изменить направление на противоположное, то получаем противоположный вектор.

4. нулевой вектор – вектор, длина которого = 0 или начальная конечная точки совпадают. ( у нулевого вектора направление неопределенно).

Коллинеарные векторы – векторы, у которых задающие их отрезки параллельны одной и той же прямой.

Примечание: если из двух коллинеарных векторов направление одинаковое, то вектора сонаправленные, а если противоположные, то называется противоположно-направленные.

Компланарные векторы – векторы, у которых задающие их отрезки параллельны одной и той же плоскости.

Примечание: два вектора в пространстве всегда компланарны.

Примечание: два вектора называются равными, если они сонаправлены и равны по длине.

Линейные операции над векторами:

1. умножение вектора на число:

Результатом будет вектор, коллинеарный исходному (соноправленный в случае положительного множителя и противоположно-направленный – в случае отрицательного множителя), длина которого равна произведению модуля числового множителя на длину исходного модуля.

2. сумма двух векторов:

Есть вектор, получаемый из слагаемых при помощи правила параллелограмма или правила треугольника.

Коллинеарность и компланарность. Базис. Координаты.

Коллинеарные векторы – векторы, у которых задающие их отрезки параллельны одной и той же прямой.

Примечание: если из двух коллинеарных векторов направление одинаковое, то вектора сонаправленные, а если противоположные, то называется противоположно-направленные.

Компланарные векторы – векторы, у которых задающие их отрезки параллельны одной и той же плоскости.

Примечание: два вектора в пространстве всегда компланарны.

Примечание: два вектора называются равными, если они сонаправлены и равны по длине.

Базис пространства -совокупность лин независ векторов, по которым можно разложить любой вектор этого пр-ва.

Базис 3x мерного пр-ва образует любая тройка некомпланарных векторов пр-ва.

Если образуют базис в пространстве, то любой вектор из этого пространства может быть представлен:

Примечание: для конкретно-заданного базиса не всегда просто бывает найти коэффициент .

Проще всего это сделать когда базис является ортонормированным.

Понятие ортонормированности распадается на понятия ортогональности и нормированности.

( перпендикулярность и длина=1).

В 3-х мерном пространстве ортогональный базис состоит из 3 взаимноперпендикулярных векторов.

Ортонормированный базис состоит из 3-х взаимноперпендикулярных векторов, длина каждого из которых = 1.