Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

           Определение.Производной функции f(x) в точке х = х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

           у                            

                                                                                                                        f(x)

f(x₀ +Dx)                                           P                                            

                                                                         Df

f(x₀)              M                                           

a                        b                        x0       x₀Dxx₀ + Dx

           Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда  тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

,

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x₀, f(x₀)).

           Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

           Уравнение касательной к кривой:

           Уравнение нормали к кривой: .

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

           Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

           Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

Дифференциал функции.

           Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Тогда можно записать: , где a®0, при Dх®0.

Следовательно: .

Величина aDx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f¢(x)Dx, т.е. f¢(x)Dx- главная часть приращения Dу.

           Определение.Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

           Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx или dy = f¢(x)dx.

Можно также записать:

Геометрический смысл дифференциал                                       

                                                                                                                        f(x)                        

                                                                                         K        dyDy

           M                                                                      L            

a

           xx + Dx                  

           Из треугольника DMKL: KL = dy = tga×Dx = y¢×Dx

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

Свойства дифференциала.

           Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

1) d(u ± v) = (u ± v)¢dx = u¢dx ± v¢dx = du ± dv

2) d(uv) = (uv)¢dx = (u¢v + v¢u)dx = vdu + udv

3) d(Cu) = Cdu

Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.

           Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции:

           Если подставить в эту формулу выражение

то получим приближенную формулу:

Производная и дифференциал сложной функции.

Производная сложной функции.

           Теорема.Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

           Тогда 

           Доказательство.

( с учетом того, что если Dx®0, то Du®0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)

Тогда . Теорема доказана.

Дифференциал сложной функции.

Инвариантная форма записи дифференциала.

Пусть y = f(x), x = g(t), т.е у- сложная функция.

Тогда dy = f¢(x)g¢(t)dt = f¢(x)dx.

           Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.

           Однако, если х- независимая переменная, то

dx = Dx, но

если х зависит от t, то      Dх ¹dx.

Таким образом форма записи dy = f¢(x)Dx не является инвариантной.

Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование.