Геометрический смысл определенного интеграла

Если функция на отрезке , то определенный интеграл  геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции – фигуры, ограниченной линиями ( рис.5)                                                                             Рис. 5

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми  и отрезком оси ОХ, вычисляется по формуле .

Площадь фигуры, ограниченной кривыми , прямыми , вычисляется по формуле .

Пример 20: Вычислить неопределенный интеграл .

Решение:    

= .

Пример 21: Вычислить неопределенный интеграл .

Решение: = .

Пример 22: Вычислить неопределенный интеграл

Решение: =

Пример 23: Вычислить неопределенный интеграл

Решение:

=

Пример 24: Вычислить неопределенный интеграл

Решение:

Пример 25: Вычислить неопределенный интеграл

Решение:

=  

Пример 26: Вычислить определенный интеграл .

Решение:

=

Пример 27:Вычислить определенный интеграл: .

Решение:       

.

Пример 28: Вычислить определенный интеграл методом замены переменной

Решение:

= =

.

Пример 29: Вычислить определенный интеграл: .

Решение:

.

Пример 30: Сделать чертеж и вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение:

1. Сделаем чертеж.

Графиком функции  является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы: ; ; . Вершина параболы имеет координаты (0;1). Найдем точки пересечения параболы с осью ОХ: . Точки пересечения с осью ОХ (-1;0) и (1;0).

Графиком функции является прямая. Для построения прямой достаточно двух точек

Сделаем чертеж (рис.6).

                       Рис. 6

2. Найдем точки пересечения графиков функции (границы интегрирования). Для этого приравняем функции и решим уравнение

по теореме Виета

3. Вычислим площадь фигуры ограниченной графиками функций, используя геометрический смысл определенного интеграла.

Ответ: Площадь фигуры ограниченной линиями  равна 4,5 .