Производные высших порядков

Определение 3: Производная второго порядка (вторая производная) от функции y=f(x) есть производная от ее первой производной: .

Определение 4:Производная n-ого порядка(n-я производная) от функции y=f(x) есть производная от ее (n-1)-й производной: .

Пример 9: Найти производную функции

Решение:

+

Пример 10: Найти производную функции

Решение:

Применим правило дифференцирования  

Пример 11: Найти производную функции

Решение:

Применим правило дифференцирования

Пример 12: Найти дифференциал функции  

Решение: По определению дифференциал

Так как , то .

Ответ: Дифференциал функции равен

Пример 13: Найти производную сложной функции

Решение:   =

Пример 14: Найти производную функции сложной функции

Решение:

=

+

Пример 15: Найти производную второго порядка для функции .

Решение:

Ответ:

Пример 16: Найти производную второго порядка функции в точке .

Решение:

Найдем при

Ответ:

Исследование функций с помощью производной

Основные понятия и формулы

Определение 1: Точка х₀ называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х₀ выполняется неравенство:

.

Определение 2: Точка х₀ называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х₀ выполняется неравенство:

.

Точки минимума  и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Правило нахождения экстремумов функции с помощью первой производной

a. Найти производную функции .

b. Найти критические точки по первой производной, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.

c. Исследовать знак первой производной  в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции . Если на промежутке , то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке , то на этом промежутке функция возрастает.

d. Если в окрестности критической точки  меняет знак

с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с  «-» на «+», то точкой минимума.

e. Вычислить значения функции в точках минимума и максимума.

С помощью приведенного алгоритма можно найти не только экстремумы функции, но и промежутки возрастания и убывания функции.

Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба.

Определение 3: Кривая  называется выпуклой вниз на промежутке , если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка (рис.1).

Определение 4: Кривая  называется выпуклой вверх  на промежутке , если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка (рис.2).

              Рис.1                                                                    Рис. 2 

Определение 5: Точка графика функции ,  разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба (рис.3).

                              Рис. 3

Правило нахождения точек перегиба графика функции

a. Найти вторую производную .

b. Найти точки, в которых вторая производная обращается в нуль или терпит разрыв.

c. Исследовать знак второй производной на каждом промежутке, на которые найденные критические точки делят область определения функции . Если при этом критическая точка  разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то  является абсциссой точки перегиба графика функции.

d. Вычислить значения функции в точках перегиба.