Общая схема для построения графиков функций

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность или нечетность.

3. Найти точки пересечения графика функций с осями координат.

4. Найти асимптоты функции.

5. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции.

6. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции.

7. По результатам исследования построить график.

Пример 17: Найти промежутки монотонности и экстремумы функции:                   .

Решение: Найдем первую производную функции .

Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение

Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.

		0		2
	+	0	-	0	+
		т. max 0		т. min -4

Ответ: Функция возрастает при ; функция убывает при ; точка минимума функции ; точка максимума функции .

Пример 18: Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции .

Решение: Находим , .

Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение             

		2
	+	0	-
		точка перегиба 16

Ответ: Функция выпукла вверх при ; функция выпукла вниз при ; точка перегиба .

Пример 19: Провести полное исследование функции и построить ее график

Решение:

1) Функция определена на всей числовой оси, т. е. ее область определения .

2) Выясним, является ли функция четной или нечетной:

.

Отсюда следует, что функция является нечетной, т.е. график симметричен относительно начала координат.

3) Найдем точки пересечения с осями координат:

- с осью ОХ: решим уравнение       

.

Точки пересечения с осью ОХ

- с осью ОY:

Точка пересечения с осью ОY

4) Функция непрерывна, асимптот у нее нет.

5) Найдем промежутки монотонности и точки экстремума функции: .

Критические точки: .

		-1		1
	+	0	-	0	+
		т. max 2		т. min -2

6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции:

Критические точки: .

		0
	-	0	+
		точка перегиба 0

7) По результатам исследования построим график функции (рис. 4):

                                                     Рис. 4

Интегральное исчисление

Основные понятия и формулы

Неопределенный интеграл. Методы вычисления

Определение 1: Функция F(x) называется первообразнойдля функции f(x), если выполняется равенство  или .

Определение 2: Совокупность всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается:

.

Основные свойства неопределенного интеграла:

1.                                            

2. ;

3. ;

4. .

Таблица интегралов

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

10. 11.     12.    13.   14. 15. 16. 17.

Вычисление неопределенного интеграла методом подстановки (замены переменной)

Этот метод заключается в том, что заменяют переменную х на ,где - непрерывно дифференцируемая функция, полагают  и получают . При этом получают искомую функцию, выраженную через переменную t. Для возвращения к переменной х необходимо заменить t значением , которое находится из соотношения .

Определенный интеграл и его свойства

Определение 3:  Определенным интегралом от функции на отрезке  называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

Свойства определенного интеграла

1.

2.

3.

4.