Дифференцирование сложной функции

ИЗУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКИ НА ЗАОЧНОМ ОТДЕЛЕНИИ

Курс математики, который предстоит освоить студенту – заочнику, является фундаментом математического образования. Математические знания имеют важное значение для успешного изучения общетеоретических и специальных дисциплин, которые предусмотрены учебными планами различных специальностей.

Процесс изучения математики включает следующие этапы: посещение и проработку установочных и обзорных лекций, самостоятельную работу над учебными пособиями и учебниками, выполнение контрольных работ, сдачу зачета или экзамена.

Лекционный курс, который читается студентам во время экзаменационной сессии, является обзорным и не может быть достаточным для подготовки к зачету или экзамену. В связи с этим основным видом учебной работы на заочном отделении является самостоятельное изучение дисциплины по учебнику. Следует изучать курс систематически в течение всего семестра, так как изучение физики в сжатые сроки перед зачетом не дает глубоких и прочных знаний.

Контрольная работа помогает закрепить усвоение теоретической части каждого раздела курса.

На зачете или экзамена студенты должны показать прочные знания теории, формул, умение решать задачи.

При изучении курса математики в качестве основного следует использовать один из учебников или учебных пособий, рекомендованных в списке литературы. Другие учебные пособия можно использовать в том случае, если основное пособие не дает полного ответа на некоторые вопросы программы.

Начиная изучать материал какого-либо раздела, необходимо прочитать весь раздел учебника, не задерживаясь на трудном материале. При повторном чтении составить конспект, в котором отражать определения, теоремы, формулы, уравнения и т.п.. Составление конспекта облегчает запоминание прочитанного, помогает контролировать восприятие изучаемого материала. Материал можно считать усвоенным, если при его повторении не возникает необходимость заглянуть в книгу или конспект.

В течение семестра проводятся кон­сультации для студентов-заочников, и студент, встречающий затруднения при изучении теоретического материала, может обратиться к преподавателю для получения устной консультации.

В методических указаниях по математике даны основные понятия и формулы, примеры решения задач и контрольные задания. Эти пособия выдаются студентам в начале семестра. Чтобы научиться решать задачи и подготовиться к выполнению контрольных работ, следует разобрать помещенные в указаниях примеры решения типовых задач с подробными пояснениями.

Теория пределов

Основные понятия и формулы

Определение 1: Число А называется пределом функции y=f(х) при х, стремящемсяк  а, если для любого сколь угодно малого положительного числа  существует такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Предел функции в точке а обозначается  

Основные теоремы о пределах

1.

2.

3.

4.

5.

6.

! Все правила имеют смысл, если пределы функций  и  существуют.

Замечательные пределы

1. Первый замечательный предел

2. Следствия из первого замечательного предела ,

3. Второй замечательный предел

4. Следствие из второго замечательного предела

Техника вычисления пределов

а) Чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую степень переменной.

б) Чтобы раскрыть неопределенность типа , где под знаком предела стоит рациональная дробь, достаточно числить и знаменатель дроби разложить на множители и затем сократить дробь на множитель, приводящий к неопределенности.

в) Чтобы раскрыть неопределенность типа , если под знаком предела стоит иррациональная дробь, необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на сопряженный множитель и сократить множитель приводящий к неопределенности.

г) Необходимо помнить, что

^{, , , , , .}

Пример 1: Вычислить

Решение:

Пример 2: Вычислить

Решение:

Пример 3: Вычислить

Решение:

 =

Пример 4: Вычислить

Решение:  

Пример 5: Вычислить

Решение:

Пример 6: Вычислить

Решение:

Пример 7: Вычислить

Решение:

Пример 8: Вычислить

Решение:

Дифференциальное  исчисление

Основные понятия и формулы

Определение 1: Производной функции  в точке  называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:

 .

Механический смысл производной.Скорость есть первая производная пути по времени, т.е. .

Геометрический смысл производной.Тангенс угла наклона касательной к графику функции  равен первой производной этой функции, вычисленной в точке касания, т.е.  

Уравнение касательной к графику функции в точке :

Уравнение нормали к графику функции в точке :

Таблица производных

Правила дифференцирования	8. 9. 10.   11.   12. 13. 14. 15.   16.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Определение 2: Дифференциалом функции y=y(x) называется линейная относительно часть приращения функции. Дифференциал функции находится как произведение производной функции на дифференциал независимой переменной:

.

Дифференцирование сложной функции

Пусть y= y(u) , где u= u(x) – дифференцируемые функции. Тогда сложная функция y=y[u(x)] есть также дифференцируемая функция, причем

 , или