Лекция №5 Распределение давлений по подошве сооружений, опирающихся на грунт ( контактная задача)

Напряжения от вертикальной сосредоточенной нагрузки

Пусть рассматривается отдельный малозаглубленный фундамент и нужно определить напряжение σ_z в т. М, причем ℓ > b (рис. 3.1, а). Действие фундамента на грунт можно заменить сосредоточенной силой F_v, приложенной в центре подошвы (рис. 3.1,б). Для этой задачи получено решение, дающее формулы для всех компонент напряжений (Буссинеск, 1885г). Например, для напряжения σ_z:

                                                     ,                                                 (3.1) где  - коэффициент, значения которого приведены в табл. 3.1.

а)	б) FV
эп. σz изобара σz в) FV		г) r3 r2 r1 FV3 FV2 FV1
Рис. 3.1

Задавшись несколькими значениями z, по (3.1) легко найти напряжения и построить их эпюру, т.е. график изменения по глубине. Другим наглядным способом представления напряженного состояния являются изолинии напряжений σ_z (изобары). То и другое показано на рис. 3.1, в.

Если необходимо определить напряжение от группы сосредоточенных сил (рис. 3.1, г), рассчитываются и суммируются напряжения от каждой силы (принцип суперпозиции):

                                     .                                            (3.2)

Таблица 3.1

	к		к		к
0	0,48	0,6	0,22	1,5	0,025
0,1	0,46	0,7	0,18	1,8	0,02
0,2	0,43	0,8	0,14	2,0	0,009
0,3	0,38	0,9	0,11	2,5	0,003
0,4	0,33	1,0	0,08	3,0	0,0015
0,5	0,27	1,25	0,04	4,0	0,0004

Аналогичный прием можно применить для нагрузки, произвольно распределенной на площадке сложной формы. Площадка разбивается на ряд участков и на каждом распределенная нагрузка заменяется сосредоточенной силой. Далее используется (3.2).

Напряжения от нагрузки, равномерно распределенной

На прямоугольной площадке

Пусть нагрузка р распределена на площадке с размерами b, l (рис. 3.2). Тогда напряжения в любой точке основания можно определить аналогично формуле (3.2), приняв элементарную вертикальную нагрузку в виде dF = p·dx·dy и заменив суммирование интегрированием по площади. В итоге напряжение определяется по простой формуле:

                                                ,                                          (3.3)

где α – коэффициент рассеяния напряжений с глубиной, зависящий от положения рассматриваемой точки и формы загруженной площадки.

Например, для точки на вертикали под центром площадки α есть функция двух безразмерных параметров   и        (табл. 3.2). С использованием табл. 3.2, задаваясь глубиной z, легко построить эпюру σ_z. 

dF = p·dx·dy            Рис. 3.2. dx Y X 0 b	Рис. 3.3. 1 – эпюра σZ; 2- изобара σZ 2 1 X p 0,1p 0,2p 0,5p 0,8p

  Напряжения по вертикали, проходящей через угловую точку, легко определить, используя эту же таблицу.

Известно, что напряжение под углом в точке на глубине 2z равно одной четвертой осевого вертикального напряжения на глубине z. То есть, определив по табл. 3.2. значение α для , напряжение в точке под углом на глубине 2z получим по формуле: .

Таблица 3.2

     Напряжения в любых точках основания, не лежащих на центральной и угловых вертикалях, определяются по способу угловых точек. После определения напряжений в ряде точек напряженное состояние основания можно наглядно охарактеризовать изолиниями равных напряжений (изобарами, рис. 3.3). Все они проходят через угловые точки площадки, которые здесь (как и точка приложения сосредоточенной нагрузки на рис. 3.1) являются особыми точками.