Этап III. Вычисление числовых характеристик.

Вычисление числовых характеристик осуществляются по следующим формулам:

1. Среднее арифметическое

.

2. Дисперсия вычисляется либо по определению

либо по формуле , где и  - начальные эмпирические моменты первого и второго порядков.

3. Среднее квадратическое отклонение

.

4. Исправленная дисперсия

.

5. Исправленное среднее квадратическое отклонение

.

6. Коэффициент асимметрии

,

где - центральный эмпирический момент третьего порядка, он вычисляется либо по определению

,

либо по формуле   

,

где  - начальные эмпирические моменты первого, второго и третьего порядков.

7. Коэффициент эксцесса

 ,

где  - центральный эмпирический момент четвертого порядка. Он вычисляется либо по определению    

либо по формуле          ,

                                  ,     

8.Коэффициент вариации

                ,           

               ( ,   )

Замечание 1: Так как все числовые характеристики выражаются через , то удобнее вначале вычислить числовые значения , а затем значения числовых характеристик.

Замечание 2: Для упрощения расчетов, если они выполняются “вручную” удобнее перейти от данных значений вариант  к условиям  по формуле

,

где h – длина интервала группировки,

      С – ложный нуль.

Чаще всего в качестве ложного нуля принимается либо варианта, находящаяся в середине вариационного ряда, либо мода  (варианта , имеющая наибольшую частоту), либо любое другое число, упрощающее расчеты.

Если за  принять какое - либо значение , то соответствующая ему условная варианта  будет равна нулю, а слева и справа от нуля будут располагаться соответственно значения 1, 2, 3, 4 и т.д.

Если, например, , то вариационный ряд в условных вариантах примет вид

	…	-2	-1	0	1	2	…
	…						…

Числовые характеристики в условных вариантах , , ,  вычисляют с той лишь разницей, что вместо  используется .

Однако после вычисления числовых характеристик в условных вариантах необходимо перейти к первоначальным значениям вариант. Это осуществляется по формулам:

Промежуточные расчеты при вычислении числовых характеристик удобнее оформлять в виде таблицы.