Этап I. Группировка данных в вариационный ряд и представление его в виде функции распределения.

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

методические указания и варианты индивидуальных заданий

для выполнения расчётно-графической работы

Тюмень 2016

Автор-составитель: Антропов В.А. - доцент кафедры математики, к.п.н.

Лабораторный практикум предназначен обучающимся ГАУ Северного Зауралья для самостоятельного выполнения расчётно-графической работы (РГР) по математической статистике. В методических указаниях часть 1 приведены краткие теоретические материалы, алгоритм и образец выполнения лабораторной работы № 1, а также индивидуальные задания для обучающихся разных институтов университета.

Методические указания одобрены и утверждены на заседании кафедры Математики

От  26 февраля 2016 г,  протокол № 8

Методические рекомендации утверждены методической комиссией ИЭиФ

от 29 февраля 2016 г., протокол № 6.1

СОДЕРЖАНИЕ

Методика самостоятельной работы студента при изучении математической статистики

 1. При изучении материала по учебнику, указанному в пособии перед каждой темой, ведите конспект, в котором выписывайте определе­ния, формулировки теорем, формулы, графики и т.д.

2. На полях конспекта отмечайте вопросы для письменной или устной консультации с преподавателем.

3. Переходите к следующему вопросу только после хорошего понимания

предыдущего материала.

4. Теоретические формулы обводите рамкой, чтобы они лучше запомина­лись при перечитывании конспекта. Можно выписать основные фор­мулы на отдельном листе в форме справочника.

5. При решении задач обосновывайте каждый этап решения, теоретичес­кими положениями курса математики, задавая себе вопрос: "На ка­ком основании сделан переход от одной операции к другой?".

6. Отделяйте вспомогательные вычисления от основных при оформлении решения.

7. Делайте рисунки, но аккуратно и в соответствии с условием задачи.

8. Запишите краткий план решения задачи. Помните, что вы должны приобрести твёрдые навыки в решении однотипных задач.

9. Помогите себе в повторении, закреплении, усвоении изученного ма­териала по вопросам для самопроверки, предлагаемым в этом посо­бии после каждой темы.

Помните, что умение решать задачи является необходимым, но не достаточным условием хорошего знания теории.

10. Для обратной связи студента-заочника с преподавателем следует выполнить две контрольные работы, предложенные на стр. 38,72. Рецензия на работу указывает на пробелы в знаниях. Несамостояте­льное выполнение работы делает студента неподготовленным к устному экзамену или зачёту.

10. Без расчетно-графической работы (РГР) с рецензией преподавателя, исправлениями и дополнениями студент не допускается к сдаче зачёта.

12. На экзамене и зачёте проверяются отчётливое понимание теоретических и прикладных вопросов программы, а также умение применить знания к решению практических задач.

13. Студент выполняет тот вариант РГР, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра (номера зачётной книжки).

       14. Указать используемую литературу в конце решённой работы.

15. в ПРИЛОЖЕНИИ 1 дан образец титульного листа

Введение

   В методических указаниях содержатся е указания и варианты индивидуальных заданий для РГР «Первичная обработка результатов наблюдения методом математической статистики. Оценка параметров «нормального» распределения».

     Цель выполнения РГР – привить студентам навыки самостоятельной обработки эмпирически полученных данных с помощью основных методов математической статистики.

    Методика, приведенная в РГР, обеспечивает самостоятельное выполнение расчётно-графической работы.

       Описание РГР включает краткие теоретические сведения и план выполнения работ:

· алгоритм вычисления;

· образец выполнения работы;

· контрольные вопросы;

· варианты заданий.

    РГР содержит 10 вариантов и гарантирует индивидуальность его выполнения.

    Наличие алгоритма позволяет все расчёты производить как в «ручном» режиме так и с помощью программы Excel.

Содержание РГР

Первичная обработка результатов наблюдения методом математической статистики

Цель работы:Привить навыки первичной обработки эмпирических данных с помощью методов математической статистики.

Содержание работы:

1.Группировка данных в вариационный ряд и представление в виде эмпирической функции распределения.

2.  Графическое изображение вариационного ряда и эмпирической функции распределения.

3.  Вычисление основных числовых характеристик выборочной совокупности.

4.  Определение границ истинных значений числовых характеристик, изучаемой случайной величины с заданной надёжностью.

5. Содержательная интерпретация результатов первичной обработки по условию задачи.

Форма отчета:

1. Представление работы по указанному в методике образцу.

2.Самостоятельное изучение теоретического материала с помощью предлагаемых контрольных вопросов.

3.Устное собеседование по работе, сдача зачета.

Краткие теоретические сведения и план

Выполнения работы.

Изучение свойств случайных величин методом математической статистики основано на первичной обработке результатов наблюдений, выраженных в числовой форме.

Целью первичной обработки является представление первичной числовой информации в более обозримой, сжатой форме, а также получение сведений об основных закономерностях изучаемой совокупности случайных величин.

В математической статистике различают генеральную совокупность и выборочную.

Под генеральной совокупностью понимается все мыслимое множество случайных объектов, обладающих общностью некоторого, изучаемого в данном исследовании, признака. Это множество, как правило, счетное.

Выборочная совокупность (выборка)- эта часть генеральной совокупности, которая фактически изучается.

Для того, чтобы по выборке можно было достаточно уверенно судить о свойствах генеральной совокупности она должна быть репрезентативной, т.е. достаточной по численности, случайной по отбору с соблюдением равной возможности каждого элемента генеральной совокупности попасть в выборку.

Теоретической основой выборочного метода является теорема Чебышева.

Теорема:с вероятностью, сколь угодно близкой к достоверности можно утверждать, что при достаточно большом числе наблюдений, ограниченной дисперсии генеральной совокупности попарно независимых случайных величин, разность между средним арифметическим и средним арифметическим их математических ожиданий будет сколь угодно малой, т.е.

в частности ,

где - средняя для выборочной совокупности;

  -средняя для генеральной совокупности;

   -как угодно малое положительное число.

Итоги эмпирических наблюдений представляют собой простой статистический ряд- таблицу числовых значений изучаемой случайной величины. Известно, что, если находить числовые характеристики, предварительно сгруппировав полученные данные, то их значения будут ближе подходить к истинным значениям аналогичных характеристик генеральной совокупности.

Первичная обработка результатов наблюдений состоит из нескольких этапов. Рассмотрим содержание каждого из них.

Этап I. Группировка данных в вариационный ряд и представление его в виде функции распределения.

Для того, чтобы статистические данные представить в виде вариационного ряда с равноотстоящими вариантами необходимо:

1.В исходной таблице эмпирических данных найти наименьшее ( ) и наибольшее ( ) значения.

2.Определить размах варьирования:

3. Наметить число интервалов группировки. Имея в виду, что выделением большого числа групп можно затушевать общую картину распределения, малое же число не позволит выявить характерную особенность изучаемой случайной величины. Исходя из опыта рекомендуется выделять от 5 до 20 групп так, чтобы каждая группа была достаточно наполнена значениями вариант. Можно также воспользоваться формулами:

      где s-число групп, n-объем выборки.

   4. Определить длину интервала

                 .

Если вычисленное отношение – число иррациональное, то его округляют до удобного целого значения.

5. Записать интервалы группировок и расположить их в порядке возрастания границ

, ,………., ,

где - нижняя граница первого интервала. За  берется удобное “круглое” число не большее , верхняя граница последнего интервала должна быть не меньше .Это делается для того, чтобы интервалы содержали в себе исходные значения случайной величины.

 6. Разнести исходные данные по интервалам группировок, т.е. подсчитать по исходной таблице число значений случайной величины, попадающих в указанные интервалы. Если некоторые значения совпадают с границами интервалов, то их относят либо только к предыдущему, либо только к последующему интервалу.

Записать интервальный ряд частот и относительных частот.

			…
			…
			…

 7. От интервального ряда перейти к дискретному. Для этого каждый интервал заменить его средним значением, оставив частоты и относительные частоты без изменения.

			…
			…
			…

8. Записать эмпирическую функцию распределения.

где - число вариант, значения которых меньше чем ;

    n - число всех значений, объем выборки.

                                   ………………………..

F^*(x) определяет относительную частоту события (X<x).

Замечание №1.Интервалы необязательно брать равными по длине. На участках, где значения располагаются гуще, удобнее брать более мелкие короткие интервалы, а там где реже - более крупный.

    Замечание №2.Появление “граничных” значений  нежелательно, это ведет к смещению эмпирического распределения от его истинного положения на числовой оси влево, либо вправо, выбирая границы, регулирования длину интервала, следует этого избегать.

    Замечание №3 Если для некоторых значений получены “нулевые”, либо малые значения частот , то необходимо перегруппировать данные, укрупняя интервалы (увеличивая шаг ).

       Этап II. Графическое изображения ряда и эмпирической функции распределения.

Графически интервальный вариационный ряд изображается либо в виде гистограммы частот – ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников, основанием которых служат интервалы группировки, а высоты равны отношению частоты к длине интервала , либо в виде гистограммы относительных частот, когда высоты прямоугольников равны отношению относительной частоты к длине интервала группировки .

Дискретный вариационный ряд графически изображается в виде полигона частот или относительных частот.

Полигон частот – это ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами ( ).

Полигон относительных частот – это ломанная линия, отрезки которой соединяются точками с координатами (  ).

Эмпирическая функция распределения графически изображается в виде линии, изменяющейся скачкообразно. На оси абсцисс откладывается значения интервалов, на оси ординат соответствующие им вероятности (значения функции), вычисляемые по формуле , где .

Скачки наблюдаются при переходе от одного интервала к другому.

Графическое изображение вариационных рядов и эмпирической функции распределения лучше уяснить на конкретном примере в разделе “Образец выполнения задания”.