Практические приёмы приближённых вычислений

Цель:научиться вычислять абсолютные и относительные погрешности приближений, находить границы погрешностей; выполнять действия над приближенными числами с учетом и без учета границ погрешностей.

Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техникум».

       Средства обучения:

- методические рекомендации к практической работе № 4.

Виды самостоятельной работы:

- нахождение погрешности приближения;

- вычисление абсолютной и относительной погрешности приближения;

- нахождение границ погрешностей приближений;

- нахождение суммы, разности приближенных значений с учетом границ погрешностей;

- нахождение произведения, частного приближенных значений с учетом границ погрешностей;

- выполнение арифметический действий над приближенными значениями без учета границ погрешностей.

Краткая теоретическая справка

    Если результат измерения или вычисления величины x с некоторой точностью равен , то  называют приближенным значением (приближением) величины x.

       Разность между точным и приближенным значениями величины называется погрешностью приближения .

       Модуль разности между точным и приближенным значениями величины называется абсолютной погрешностью приближения .

       В случаях, когда неизвестно точное значение величины и из-за этого нельзя найти абсолютную погрешность приближения, указывают положительное число, больше которого абсолютная погрешность быть не может. Это число называют границей абсолютной погрешности.

Если , то есть граница абсолютной погрешности.

Тогда ,т.е. истинное значение величины x заключается в пределах .

Для характеристики качества измерения используют понятие относительной погрешности.

Отношение абсолютной погрешности приближения к модулю приближенного значения величины называется относительной погрешностью приближения.

       Любое положительное число, которое больше или равно относительной погрешности, называется границей относительной погрешности.

, где - граница относительной погрешности.

       Если - граница абсолютной погрешности, то граница относительной погрешности равна

.

Если  с точностью до ,  с точностью до , то с точностью до  и  с точностью до .

       Если  с относительной точностью до ,  с относительной точностью до , то с относительной точностью до  и  с относительной точностью до .

       Если  с относительной точностью до , то относительная точность приближенного равенства  есть .

       Граница относительной погрешности корня n-й степени в n раз меньше границы относительной погрешности подкоренного числа.

       Если положительное число записано в виде , где , то говорят, что число записано в стандартном виде. Целое число k называют порядком данного числа.

       Цифра какого-либо разряда в записи приближенного значения называется верной, если граница абсолютной погрешности приближения не превышает единицы этого разряда.

       Цифра в записи приближенного значения называется строго верной, если его абсолютная погрешность не превышает половины единицы разряда, в котором записана эта цифра.

       Значащими цифрами называются все верные цифры в записи приближенного значения, кроме нулей, стоящих перед первой отличной от нуля цифрой.

       При вычислениях, когда не учитывается погрешность каждого промежуточного результата, рекомендуется пользоваться следующими правилами подсчета верных цифр:

1) в сумме и разности приближенных значений, в записи которых все цифры верные, оставляют столько десятичных знаков, сколько их имеет приближенное значение с наименьшим числом десятичных знаков;

       2) в произведении и частном приближенных значений оставляют столько цифр, не считая нулей, стоящих впереди, сколько значащих цифр имеет приближенное значение с меньшим числом значащих цифр;

       3) в промежуточных результатах рекомендуется сохранить на 1-2 цифры больше, чем указано в правилах 1 и 2. В конечном результате последние цифры надо округлить.

Практические задания для аудиторной работы

1. Найти погрешность, абсолютную и относительную погрешность приближенного значения  величины .

2. Определить точность приближенного равенства .

3. Определить относительную точность приближенного равенства .

1.,2. а) ; ; б) ; .

3. а) ; ; б) ; .

4. Найти периметр , если , , .

5. Вычислить чему равна площадь прямоугольника шириной м и длиной м.

6. Вычислить периметр четырехугольника , если , , , .

Практические задания для самостоятельной работы

Вариант 1

1.,2. а) ; ; б) ; .

3. а) ; ; б) ; .

4. Найти разность , если  с точностью до 1%, с точностью до 2%.

5. Вычислить , если и  с точностью до 1%.

6. Найти произведение чисел  и .

Вариант 2

1.,2. а); ;   б) ; .

3. а) ; ; б) ; .

4. Найти периметр прямоугольника , если , .

5. Вычислить площадь ромба , если его диагонали равны см, см.

6. Вычислить периметр , если , , .

Вариант 3

1.,2. а) ; ; б) ; .

3. а) ; ; б) ; .

4. Найти разность , если  с точностью до 0,1%, с точностью до 1%.

5. Вычислить чему равна площадь прямоугольника шириной м и длиной м.

6. Найти произведение чисел  и .

Вариант 4

1.,2. а) ; ; б) ; .

3. а) ; ; б) ; .

4. Найти периметр прямоугольника , если , .

5. Вычислить площадь ромба , если его диагонали равны см, см.

6. Вычислить периметр , если , , .

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащей:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы;

- вывод о выполненном задании.

Контрольные вопросы

1. Что называют погрешностью приближения?

2. Что такое абсолютная погрешность приближения?

3. Какую погрешность называют относительной?

4. Что называют границами абсолютной и относительной погрешностей?

5. Какая существует связь между абсолютной и относительной погрешностями?

6. Чему равна погрешность суммы и разности приближенных значений?

7. Как вычислить погрешность произведения и частного приближенных значений?

8. Что такое верные и строго верные числа в записи приближенных значений?

9. Какие цифры в записи приближенного значения называют значащими?

10. Какими правилами пользуются при вычислениях без учета границ погрешностей?

Сделайте вывод о том, какие математические навыки вы приобрели на этом занятии.

Практическая работа № 5