Решение систем линейных уравнений

Система линейных алгебраических уравнений

представима в матричной форме

                                                              Ax = b,                                                        (9)

где A – матрица коэффициентов при неизвестных системы (матрица левой части системы),

;

b – столбец свободных слагаемых,

.

Известно, что система линейных алгебраических уравнений имеет решение, если ее определитель отличен от 0, т. е. если

                                                     .                                              (10)

Умножим обе части матричного уравнения Ax = b на обратную матрицу коэффициентов при неизвестных системы A^-1 слева:

                                                       .                                                (11)

С учетом того, что

                                                          ,                                                   (12)

вектор-столбец решений системы принимает вид:

                                                           .                                                    (13)

Реализация данного алгоритма в Mathcad включает:

· формирование матрицы A коэффициентов при неизвестных и вектора-столбца b свободных слагаемых системы уравнений;

· нахождение решения системы по формуле ;

· вывод (отображение в документе) значений вектора решений системы уравнений .

Кроме того, Mathcad имеет встроенную функцию

lsolve(A, b),

возвращающую вектор-столбец решений системы линейных алгебраических уравнений. Аргументами функции lsolve являются матрица коэффициентов при неизвестных системы уравнений и столбец свободных слагаемых. Порядок решения аналогичен рассмотренному, но вместо вычисления по формуле  обращаются к функции lsolve в операторе присваивания .

Реализовать широко известный метод Гаусса решения систем линейных уравнений позволяет встроенная функция rref(M), возвращающая ступенчатый вид матрицы M. Если в качестве аргумента взять расширенную матрицу системы, то в результате применения rref получится матрица, на диагонали которой – единицы, а последний столбец представляет собой столбец решений системы.

Решение системы линейных уравнений можно найти с помощью блоков Given…Find, Given…Minerr.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений

                                                                                              (14)

Сделать проверку полученного решения.

Решение.

1 Использование блока Given…Find.

Задайте всем неизвестным, входящим в систему уравнений, начальные приближения, например,

Наберите ключевое слово Given и уравнения системы, разделяя левую и правую часть каждого из них логическим знаком равенства  =, который вводится нажатием комбинации клавишCtrl =. Завершите вычислительный блок вводом оператора присваивания

                                                      X := Find(x, y, z)                                              (15)

Mathcad-код и результаты решения системы уравнений в виде вектора, состоящего из трех элементов, представлены в следующем фрагменте документа Mathcad:

Сделайте проверку результатов решения системы уравнений, подставив полученные значения неизвестных в выражения для левых частей уравнений системы и завершив набор каждого такого выражения нажатием клавиши =:

Видно, что полученные значения выражений левых частей уравнений системы совпадают c константами их правых частей, т. е. найденные значения неизвестных действительно являются решением системы уравнений.

В данном примере системная переменная ORIGIN = 1.

2 Использование блока Given…Minerr.

Порядок решения системы этим способом аналогичен порядку использования блока Given…Find. Результаты решения вместе с результатами проверки представлены в следующем фрагменте документа:

3 Решение системы линейных уравнений матричным способом.

Создайте матрицу А, состоящую из коэффициентов при неизвестных системы. Для этого наберите A := и вызовите диалоговое окно создания массивов (Ctrl M). Число строк (Rows) и столбцов (Columns) матрицы данной системы равно 3. Заполните шаблон матрицы как показано ниже:

Задайте вектор b правых частей системы уравнений, введя сначала b :=, затем вставив шаблон матрицы (Ctrl M) с количеством строк (Rows) и столбцов (Columns) равным 3 и 1 соответственно и заполнив его поля ввода необходимыми числами:

Представьте расчетную формулу матричного метода оператором присваивания и выведите найденные значения вектора-решения:

Найдите решение системы уравнений с помощью функции lsolve:

Получите решение системы уравнений посредством функции rref:

Полученная путем объединения матрицы при неизвестных системы и столбца правых частей уравнений матрица AR называется расширенной матрицей системы уравнений.

Проверка правильности решения системы уравнений X, полученного матричным способом, заключается в вычислении произведения  и сравнении найденного вектора

с вектором-столбцом b.