Теорема о взаимности перемещений

По-прежнему рассмотрим состояния i и j одного и того же сооружения (рис. 15.2). В состоянии i на него действует сила F_i = 1, а в состоянии j – сила F_j = 1. Зафиксируем возможные перемещения d_ij и d_ji, возникающие в состояниях i и j от единичных сил.

Для состояний сооружения i и j применим теорему о взаимности возможных работ внешних сил (см. п. 15.1, соотношение (15.3)):

1 × d_ij = 1 × d_ji,     или d_ij = d_ji.            (15.4)

Соотношение (15.4) выражает содержание теоремы о взаимности перемещений: перемещение по направлению линии действия i-й единичной обобщённой силы, вызванное j-й единичной обобщённой силой, равно перемещению по направлению линии действия j-й обобщённой силы от i-й единичной обобщённой силы. В строительной механике эта теорема известна как теорема английского физика и механика Джеймса Максвелла (1831–1879).

Теорема о взаимности перемещений широко применяется в расчётах линейно деформируемых систем, в частности, в расчётах статически неопределимых систем методом сил, при построении  линий  влияния  перемещений  в  стержневых  сооружениях.

Выше был рассмотрен случай, когда в состоянии i и j сооружения действуют единичные сосредоточенные силы (рис. 15.2), т.е. силы, имеющие одинаковую природу и одинаковую размерность. На рис. 15.3 рассмотрена ситуация, когда в состоянии i на сооружение действует сосредоточенная сила F_i = 1, а состоянии j – сосредоточенный момент M_j = 1. Здесь же показаны и возможные перемещения d_ij и d_ji, вызываемые упомянутыми силами F_i = 1 и M_j = 1. Кажущееся противоречие в размерностях перемещений d_ij и d_ji, равенство которых определено соотношением (15.4), отпадает, если мы примем во внимание, что каждое из этих перемещений является удельным перемещением, т.е. что оно вызывается обобщённой силой, имеющей не произвольное, а единичное значение. Таким образом, размерность какого-либо удельного перемещения есть отношение размерности рассматриваемого обобщённого перемещения к размерности обобщённой силы, вызвавшей это перемещение. В случае, рассмотренном на рис. 15.3, имеем:

[d_ij] =  = кН^-1, [d_ji] =  = кН^-1,

т.е. оба перемещения имеют одинаковую размерность.