Поток вектора напряженности электрического поля

Рассматривая электрическое поле, изображенное на рис. 1.2.1,

Рис.1.2.1

вы­делим элемент поверхности площадью dS. Он представляет собой маленькую часть сферы радиусом г, в центре которой помещено то­чечное тело с положительным зарядом Q.

В силу геометрической симметрии поля вектор напряженности Е по величине одинаков во всех точках поверхности и направлен перпендикулярно ей. Произведение E dSвыражает величину эле­ментарного потока dNвектора напряженности электрического по­ля через элемент поверхности dS, если линии напряженности пер­пендикулярны пронизываемой ими поверхности: dN = E dS.

Определим полный поток N вектора напряженности электриче­ского поля, для чего сложим элементарные потоки по всей поверх­ности сферы:

                                         N = E dS.                                  (1.2.1)

Вынося постоянную величину Е за знак суммы и учитывая, что вектор Е всюду перпендикулярен поверхности сферы, получаем

N =E dS,

где dS  = 4  — площадь сферы; следовательно,

                                        N = Е ².                              (1.2.2)

Подставляя в формулу напряженности поля Е =  формулу (1.2.2), получим

                                         N = Q/                               (1.2.3)

Приведенные рассуждения справедливы и при отрицатель­ном заряде с той лишь разницей, что поток вектора напряженно­сти в этом случае отрицатель­ный.

Из формулы (1.2.3) следует, что поток N не зависит от радиуса сферической поверхности. В общем случае данная формула справедлива для любой замкнутой поверхности и для любого количества заряженных тел внутри ее, т.е.

                                     N = Q.                                 (1.2.4)

Формула (1.2.4) является математическим выражением теоремы Гаусса, которая формулируется так:

поток вектора напряженности электрического поля сквозь замкнутую поверхность в вакууме равен отношению электрического заряда, заключенного внутри этой поверхности, к электрической постоянной.

Для среды, относительная диэлектрическая проницаемость

которой отличается от единицы, формула потока имеет вид

                                       N = Q.                            (1.2.5)

Поле заряженной плоскости

Возьмем бесконечную заряженную плоскость, имеющую плотность заряда  Кл/м и выделим вокруг части этой плоскости пространство в виде прямоугольного параллелепипеда, образованного двумя плоскими поверхностями площадью S, параллельными  заряженной плоскости и находящимися на одинаковом расстоянии от нее, и четырьмя плоскими поверхностями, перпендикулярными ей (рис. 1.3.1).

Рис. 1.3.1

Вследствие симметрии все точки поверхности S имеют одинаковую напряженность поля, а вектор напряженности поля Е направлен перпендикулярно заряженной плоскости и, следовательно, поверхностям S. Так как  по отношению к боковым поверхностям он параллелен, его поток через них равен нулю, и общий поток равен потоку через поверхности S.

Заряд Q, заключенный внутри выделенной поверхности,                     

                                                   Q = S,

где  - поверхностная плотность заряда, Кл/м .   

Согласно теореме Гаусса поток вектора напряженности

N = E 2S = .

Отсюда

                                        Е =                                             (1.3.1)

Если рядом расположить две бесконечные параллельные поверхности с разноименными зарядами одинаковой плотности, их результирующее поле будет определяться наложением полей положительно и отрицательно заряженных пластин (рис. 1.3.2).

Рис. 1.3.2

Как видно из формулы (1.3.1), напряженность поля бесконечной плоскости не связана с расстоянием от нее, поэтому вне пластин поля положительной и отрицательной поверхностей скомпенсированы (Е = 0), а между ними их поля  складываются, то есть

                                Е =  =  = const.                    (1.3.2)