Ламинарное течение в трубах.

Одномерное течение

При движении жидкости по трубам основные изменения скорости и ускорения происходят вдоль оси трубопровода.

Изменение параметров вдоль двух других координат можно считать пренебрежимо малыми.

Рассмотрим установившееся ламинарное течение жидкости в прямой круглой цилиндрической трубе с внутренним диаметром d=2r₀. Чтобы исключить влияние силы тяжести и этим упростить вывод, допустим, что труба расположена горизонтально. Достаточно далеко от входа в нее, где поток уже вполне стабилизировался, выделим отрезок длиной  между сечениями 1-1 и 2-2 (рис. 5.6).

Рис. 5.6. К теории ламинарного течения жидкости в трубе.

Пусть в сечении 1-1 давление равно р₁, а в сечении 2-2 – р₂ . Ввиду постоянства диаметра трубы, скорость жидкости будет постоянной, а коэффициент  будет неизменным вдоль потока вследствие его стабильности, поэтому уравнение Бернулли для выбранных сечений примет вид

                                   ,

где  - потеря напора на трение по длине.

Отсюда

                                ,

что и показывают пьезометры, установленные в этих сечениях.

В потоке жидкости выделим цилиндрический объем радиусом r, соосный с трубой и имеющий основания в выбранных сечениях. Запишем уравнение равномерного движения выделенного объема жидкости в трубе, т.е. равенство нулю суммы сил, действующих на объем: сил давления и сопротивления. Обозначая касательное напряжение на боковой поверхности цилиндра через , получим

                      .

Откуда

                           .

Из формулы следует, что касательные напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону в функции радиуса. Эпюра касательного напряжения показана на рис. 5.6 слева (эта эпюра не зависит от режима течения).

Выразим касательное напряжение  по закону трения Ньютона через динамическую вязкость и поперечный градиент скорости (см.1.12): при этом заменим переменное y (расстояние от стенки) текущим радиусом  r :

Знак минус обусловлен тем, что направление отсчета  r (от оси к стенке) противоположно направлению отсчета  у (от стенки).

Подставляя значение в предыдущее уравнение, получаем

                       .

Найдем отсюда приращение скорости

                             .

При положительном приращении радиуса получается отрицательное приращение (уменьшение) скорости, что соответствует профилю скоростей, показанному на рис. 5.6.

Выполнив интегрирование, получим

                                 .

Постоянную интегрирования С найдем из условия, что на стенке

при r = r₀,

Тогда

                                 .

Скорость по окружности радиусом  r  равна

                                     .                              (5.5)

Это выражение является законом распределения скоростей по сечению круглой трубы при ламинарном течении. Кривая, изображающая эпюру скоростей – парабола второй степени.

Максимальная скорость в центре сечения (при r=0) будет

                                                                          (5.6)

Применим полученный закон распределения скоростей, описываемый уравнением (5.5) для расчета расхода. Для этого выразим сначала элементарный расход через бесконечно малую площадку dS

                                         .

Здесь  есть функция радиуса, определяемая формулой (5.5), а площадку dS целесообразно взять в виде кольца радиуса r и шириной dr, тогда

                                .

После интегрирования по всей площади поперечного сечения, т.е. от

r = 0 до r = r₀, получим

                                                 (5.7)

Среднюю по сечению скорость найдем делением расхода на площадь. С учетом выражения (5.7) получим

                           .                                         (5.8)

Сравнение этого выражения с формулой (5.6) показывает, что средняя скорость при ламинарном течении в 2 раза меньше максимальной:

                             .

Для получения закона сопротивления, т.е. выражения потери напора  на трение через расход и размеры трубы, определим  из формулы (5.7)

                                .

Разделив это выражение на  , заменив  на  и на  , а также перейдя от  r₀  к d = 2 r₀, получим

                            .                                    (5.9)

Полученный закон сопротивления показывает, что при ламинарном течении в трубке круглого сечения потеря напора на трение пропорциональна расходу, длине и вязкости в первой степени и обратно пропорциональна диаметру в четвертой степени. Этот закон (закон Пуазейля), используется для расчета трубопроводов с ламинарным течением.

Ранее условились выражать потери напора на трение через среднюю скорость по формуле (5.2). Приведем закон сопротивления (5.9) к виду формулы Вейсбаха – Дарси.

                              .

Для этого в формуле (5.9) заменим расход выражением ; умножив и разделив на и перегруппировав множители, после сокращения получим

или, приведя к виду формулы (5.2), окончательно найдем

                                  ,                                      (5.10)

где  - коэффициент потерь на трение для ламинарного течения:

                             .                                                   (5.11)

Таким образом потеря напора на трение по длине при ламинарном течении пропорциональна скорости в первой степени, а коэффициент  обратно пропорционален Re.

Зная закон распределения скоростей по сечению трубы, легко найти коэффициент Корнолиса , учитывающий неравномерность распределения скоростей по поперечному сечению.

Коэффициент Кориолиса определяется выражением

                                    .

Расчеты показывают, что =2.

Таким образом, кинетическая энергия ламинарного потока в двое больше кинетической энергии, подсчитанной по средней скорости.

Изложенная теория ламинарного течения жидкости в круглой трубе хорошо подтверждается опытами.

Турбулентное течение

При турбулентном движении осредненная скорость мало меняется по сечению трубопровода. Область, где скорости почти не меняются по сечению, называется ядром течения, а слой у стенок, характеризующийся быстрым уменьшением значения скорости – пристенным слоем, толщина которого весьма мала и составляет доли миллиметра. Равномерное распределение скоростей в ядре объясняется интенсивным перемешиванием масс жидкости, что характерно для турбулентного движения.

Экспериментально получена формула для определения распределения скорости по сечению

                               ,                                       (5.12)

где  - скорость на расстоянии  y от стенки;

- max скорость на оси трубопровода.

Показатель степени n зависит от числа Re для гидравлически гладких труб и от относительной шероховатости для труб вполне шероховатых.

Природа касательных напряжений в турбулентном потоке существенно отличается от механизма возникновения касательных напряжений при ламинарном движении.

В процессе турбулентного перемешивания массы жидкости из центральной области, обладающие большими скоростями, перемещаются к периферии и наоборот.

Если при ламинарном течении потери напора на трение возрастают пропорционально скорости (расходу) в первой степени, то при переходе к турбулентному течению заметны некоторый скачок сопротивления и затем более крутое нарастание величины . (рис. 5.7)

Ввиду сложности турбулентного течения и трудностей его аналитического исследования, отсутствия достаточно строгой и точной теории, в большинстве случаев для практических расчетов, связанных с турбулентным течением жидкости в трубах, пользуется экспериментальными данными.

Рис. 5.7. Зависимость  от  и Q.

Основной расчетной формулой для потерь напора при турбулентном течении в круглых трубах является известная уже формула Вейсбаха – Дарси,

имеющая вид

                    ,   где  - коэффициент потерь на трение при турбулентном течении.

Эта основная формула применима как при турбулентном, так и при ламинарном течении; различие лишь заключается в значениях коэффициента .

Коэффициент  так же, как и  является функцией числа Re, а также может зависеть от безразмерного геометрического фактора – относительной шероховатости внутренней поверхности трубы, т.е.

где  (к) – средняя высота бугорков шероховатости, d – диаметр трубы.

(  или к)-шероховатость.

Когда шероховатость трубы не влияет на ее сопротивление (на ), трубу называют гидравлически гладкой. Для этих случаев коэффициент  является функцией лишь числа Re:

Существует ряд имперических формул для определения  для турбулентного течения в гидравлически гладких трубах. Наиболее удобной является формула Конакова П.К.

                       ,                               (5.13)

применяемая при Re от Re_кр до Re, равного нескольким миллионным.

При 2300 < Re < 10⁵ можно пользоваться формулой Блазиуса

                                      .                                       (5.14)

Трубы, в которых коэффициент гидравлического трения  вовсе не зависит от числа Re, а только от относительной шероховатости, называют вполне шероховатыми. Коэффициент трения определяется в этом случае по формуле Б.Л. Шифринсона

                                .                                    (5.15)

Область движения, в которой  зависит и от Re, и от   называют переходной (область смешанного трения)

То есть                      .

Характер влияния этих двух параметров на сопротивление труб отчетливо виден из графика (Рис. 5.8), полученного Н.Н. Никурадзе.

Никурадзе Н.Н. испытал на сопротивление ряд труб с искусственно созданной шероховатостью на их внутренней поверхности. Испытания были проведены, при широком диапазоне относительных шероховатостей , а также чисел Re . Результаты этих испытаний представлены на рис. 5.8.

Наклонные прямые А и В соответствуют законам сопротивления гладких труб, т.е. формулам (5.11) и (5.14)

Штриховыми линиями показаны кривые для труб с различной относительной шероховатостью .

Рис.5.8.

Из рассмотрения графика можно сделать следующие основные выводы:

1. При ламинарном течении шероховатость на сопротивление не влияет; штриховые линии практически совпадают с прямой А.

2. Критическое число Re от шероховатости практически не зависит; штриховые кривые отклоняются от прямой А приблизительно при одном и том же Re_кр ( ).

3. В области турбулентного течения, но при небольших Re и  шероховатость на сопротивление не влияет; штриховые линии на некоторых участках совпадают и прямой В.

4. При больших Re и больших относительных шероховатостях  коэффициент   перестает зависеть от Re и становится постоянным для данной относительной шероховатости (штриховые линии параллельны оси абсцисс).

Для расчетов удобно пользоваться формулой А.Д.Альтшуля, дающая зависимость  в явном виде

                  ,                                 (5.15а)

- эквивалентная шероховатость, учитывает не только среднюю высоту выступов, но и их форму.