Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Прямая геодезическая задача




В геодезии часто встречается задача, состоящая в том, что по прямоугольным координатам одной точки находят прямоугольные координаты другой точки, если известны расстояния между этими точками и дирекционный угол линии, их соединяющей.

Пусть (рисунок 5.2) даны прямоугольные координаты хА и уА точки А и полярные координаты s и αАВ точки В

 

 

Рисунок 5.2

По этим данным надо найти прямоугольные координаты хВ и уВ точки В.

Из чертежа (рисунок 5.2) мы имеем:

хВ = хА +∆ х

уВ = уВ +∆ у

Следовательно, чтобы найти координаты хВ  и  уВ , нужно к известным координатам хА  и  уА  прибавить приращение ∆ х и ∆ у

Приращением называют разности ∆ х и ∆ у координат последующей и предыдущей точек.

Из прямоугольного треугольника (рисунок 5.2) АаВ имеем:

∆ х = s ∙ cos αАВ

∆ у = s ∙ sin αАВ

Так как линия может быть направлена под любым (0˚-360˚) углом α, то в расчете угол  α заменяют румбом r, поэтому

∆ х = s ∙ cos rАВ

∆ у = s ∙ sin rАВ

В зависимости от направления линии АВ меняются знаки координат точек А и В, следовательно приращения координат тоже могут иметь разные знаки.

Таблица 5.1 – Зависимость знаков приращений от направления линий

Четверти

Приращения

Угол α ( ˚)

Румб r ( ˚)

∆ х ∆ у
I + + 0˚-90˚ 0˚-90˚
II - + 90˚-180˚ 180˚- α
III - - 180˚-270˚ α - 180˚
IV + - 270˚-360˚ 360˚ - α

Поэтому формулы для определения прямоугольных координат последующей точки можно записать:

 

хВ = хА ± ∆ х уВ = уВ ± ∆ у  


 

Обратная геодезическая задача

Обратная геодезическая задача состоит в том, что по данным прямоугольным координатам начала и конца отрезка прямой определяют дирекционный угол и длину этого отрезка.

Пусть даны координаты точек А и В (рисунок 5.2). необходимо определить длину отрезка АВs и величину дирекционного угла αАВ этого отрезка.

Из прямоугольного треугольника АаВ имеем:

tg αАВ =

Принимаем:

Ва= ∆ у = уВ – уА

Аа = ∆ х = хВ – хА

Получим:

tg αАВ =

Значение длины отрезка АВ может быть вычислено из прямоугольного треугольника АаВ по теореме Пифагора

s =

При решении обратной задачи для вычисления дирекционного угла пользуются формулой

, причем в результате вычислений будет найден острый угол (румб). Чтобы по румбу определить величину дирекционного угла нужно сначала выяснить, к какой четверти относится этот угол, что зависит от знаков приращений ∆х и ∆у (см. табл.5.1)

 

Примеры решения задач

Пример 1.Пусть даны хА = 50,0м, уА = 80,0м, s = 100м, αАВ = 120˚30'. Необходимо вычислить координаты точки В: хВ и  уВ.

Решение. Вычисления выполняют по следующей схеме. Так как дирекционный угол αАВ больше 90˚, а именно 90˚-180˚, то данный отрезок находится во второй координационной четверти. В расчетах угол αАВ заменяем на румб r. Для второй четверти румб будет равен

rAB = 180˚- αАВ = 180˚-120˚30' = 59˚30':ЮВ

rAB = 59˚30':ЮВ

Так как отрезок АВ находится во второй четверти, знаки приращений будут

∆х (-); ∆у(+), поэтому формулы для вычисления координат точки В хВ и  уВ.:

хВ = хА - ∆х = хА – s ∙ cos rAB

yВ = yА + ∆y = yА – s ∙ sin rAB

хВ = 50 – 100 ∙ cos 59˚30' = 50 – 100 ∙ 0,507538 = - 0,754

yВ = yА + ∆y = yА – s ∙ sin 59˚30' = 80 + 100 ∙ 0,861629 = 166,163

Правильность решения задачи можно подтвердить чертежом, выполнив его в масштабе.

 

Пример 2.Пусть даны прямоугольные координаты точек А и В. Необходимо найти дирекционный угол αАВ и длину линии АВ – s.

хА = 20,0м, уА = 30,0м

хВ = - 40,0м, уВ = - 60,0м

Решение. Приращение координат вычислим по формуле:

 ∆ у = уВ – уА  = - 60 - 30 = -90,0

∆ х = хВ – хА = - 40 – 20 = - 60,0

Так как знаки приращений отрицательные, то линия лежит в III четверти, где дирекционный угол будет равен:

rAB = αАВ - 180˚ => αАВ = 180+ rAB

Румб линии rAB находим по формуле:

tg rАВ =

По таблице находим значение угла для tg rАВ =1,5 => rАВ =56˚19', тогда

αАВ = 180˚ + 56˚19' = 236˚19'

Длину отрезка АВ находим по формуле:

sАВ =

 

Задачи для самоконтроля:

1. Определить координаты точки В: хВ и уВ., если длина линии АВ

 sAB = 120м, координаты точки А хА = - 10,5м, уА = - 22,0м. дирекционный угол линии АВ αАВ = 225˚35'.

 

2. Определить длину линии DС sDC и ее дирекционный угол αDC, если координаты начальной и конечной точек равны:

хD = 22,5м, уD = - 20,0м

хC = 10,0м, уC = 30,0м

свои решения подтвердить чертежами в масштабе 1:1000

 

 

ЛЕКЦИЯ №6











Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 1191.

stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда...