СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

Цель занятия - изучить методику расчета различных видов средних величин и показателей вариации.

Вопросы для обсуждения:

1. Значение средних величин в статистических исследованиях.

2. Виды средних.

3. Средняя арифметическая, ее виды и основные свойства.

4. Средняя гармоническая, область ее применения.

5. Структурные средние, их значение в анализе.

6. Показатели асимметрии и эксцесса.

7. Назовите абсолютные показатели степени колеблемости значений признака.

8. Относительные показатели вариации, их значение и условия применения.

9. Определение дисперсии и назовите ее основные свойства.

10. Сформулируйте правило сложения дисперсий и условия его практического использования.

11. Что такое дисперсия альтернативного признака?

Методические указания

Средней величиной называют показатель, который характеризует обобщенное значение признака или группы признаков в исследуемой совокупности.

Виды степенных средних величин:

1.Средняя арифметическая взвешенная:

.

где х_i – вариант; f_i – частота возникновения варианта.

2.Средняя гармоническая взвешенная:

где М = х ×f

3.Средняя квадратическая взвешенная:

.

4.Средняя геометрическая взвешенная:

Или

где п – количество уровней ряда.

Виды структурных средних величин:

1.Мода интервального ряда распределения:

где х_Мо - нижняя граница модального интервала;

h_Мо- величина модального интервала;

 - частота модального интервала;

 - частота интервала, предшествующего модальному;

 - частота интервала, следующего за модальным.

2.Медиана интервального ряда распределения:

где х_Ме - нижняя граница медианного интервала;

 - сумма частот;

- частота медианного интервала;

- накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

 - частота медианного интервала.

3. Квартиль ряда распределения:

а) нижний (первый) квартиль

в) верхний (третий) квартиль

где , - нижняя граница квартильного интервала;

  , - величина квартильного интервала;

 - сумма частот;

,  - накопленная частота интервала, предшествующего квартильному;

,  - частота квартильного интервала.

4.Дециль ряда распределения:

а) нижний (первый) дециль

в) верхний (девятый) дециль

где , - нижняя граница децильного интервала;

  , - величина децильного интервала;

 - сумма частот;

, - накопленная частота интервала, предшествующего децильному;

, - частота децильного интервала.

Вариация - колеблемость, изменяемость величины признака у единиц совокупности.

Показатели вариации бывают абсолютные и относительные.

Абсолютные показатели:

1.Размах вариации:

.

2.Среднее линейное отклонение взвешенное:

где  - абсолютное значение отклонений.

3.Дисперсия вариационного признака взвешенная:

4.Среднее квадратическое отклонение вариационного признака взвешенное:

5.Дисперсия альтернативного признака:

где  - доля единиц в совокупности, обладающих данным признаком;

 - доля единиц, не обладающих данным признаком.

6.Среднее квадратическое отклонение альтернативного признака:

.

Относительные показатели вариации:

1.Коэффициент осцилляции:

2.Линейный коэффициент вариации:

3.Коэффициент вариации:

Если коэффициент вариации равен или менее 33%, то исследуемая совокупность признается однородной.

Правило сложения дисперсий для средней величины признака:

где  - общая дисперсия;

 - средняя из внутригрупповых дисперсий;

 - межгрупповая дисперсия.

1. Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака (х_i) от общей средней величины ( ) и может быть вычислена как:

где f_o – частота общая в изучаемой совокупности.

2. Средняя из внутригрупповых дисперсий (остаточная дисперсия) отражает случайную вариацию неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки.

где  - групповые дисперсии; f_i - число единиц в группах.

3. Межгрупповая дисперсия (факторная) характеризует систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки.

где  - групповые средние; - общая средняя.

Коэффициент детерминациипоказывает долю общей вариации изучаемого признака, обусловленную вариацией группировочного признака.

Корреляционное отношение показывает влияние признака, положенного в основу группировки, на вариацию результативного признака.

Коэффициент асимметрии:

Эксцесс:

где  - центральный момент четвертого порядка, определяемый по формуле:

.

Задачи для решения

Задача 12.Имеются данные о заработной плате рабочих двух цехов, таблица 16:

Таблица 16 – Исходные данные

Определите среднюю заработную плату рабочих за каждый месяц и за два месяца вместе.

Задача 13.Имеются данные о дневной продаже яблок в торговой точке города, таблица 17:

Таблица 17 – Исходные данные

Определите среднюю цену за 1 кг яблок. Укажите вид средней величины.

Задача 14.Рассчитайте средний курс продажи одной акции по данным о торгах на фондовой бирже при условии, таблица 18:

Таблица 18 – Исходные данные

Каким видом средней величины Вы воспользовались и почему?

Задача 15.Качество предприятия характеризуется следующими данными (за месяц), таблица 19:

Таблица 19 – Исходные данные

Определите средний процент брака в целом по предприятию.

Задача 16.Рассчитайте средний уровень издержек обращения на 100 рублей товарооборота и средний товарооборот при условии, таблица 20:

Таблица 20 – Исходные данные

Задача 17.Распределение предпринимателей по стажу работы, таблица 21: 

Таблица 21 – Исходные данные

Определите средний стаж работы предпринимателей.

Задача 18.Имеются следующие данные о движении основных фондов по полной стоимости таблица 22:

Таблица 22 – Исходные данные, тыс. руб.

Определите стоимость основных фондов на конец года; среднегодовую стоимость основных фондов (двумя способами) и объясните расхождение полученных результатов.

Задача 19.Рассчитайте среднемесячный остаток оборотных средств за 2 квартал при условии, таблица 23:

Таблица 23 – Исходные данные

Каким видом средней величины Вы воспользовались и почему?

Задача 20.Рассчитайте среднюю долю экспортной продукции при следующих данных, таблица 24:

Таблица 24 – Исходные данные

Какой вид средний величины Вы использовали и почему?

Задание 21.Определите среднюю годовую численность населения области при условии, таблица 25:

Таблица 25 – Исходные данные

Задание 22.По исходным данным задачи 9 рассчитать:

1) среднегодовой валовой региональный продукт на душу населения;

2) среднегодовые темпы роста валового регионального продукта на душу населения.

Задача 23. Имеются данные о средненедельной заработной плате рабочих топливно-энергетической отрасли в одном из штатов США, таблица 26:

Таблица 26 – Исходные данные

Рассчитать среднюю заработную плату, найти моду и медиану аналитически и графически.

Задача 24. Распределение студентов одного из факультетов по возрасту характеризуется следующими данными, таблица 27:

Таблица 27 – Исходные данные

Вычислите структурные средние и изобразите их графически.

Задача 25. Имеются данные о распределении скважин в одном из районов бурения по глубине, таблица 28:

Таблица 28 – Исходные данные

Найдите структурные средние аналитически и графически.

Задача 26. Имеются данные о чистой прибыли (балансовой за вычетом налогов) предприятий двух районов таблица 29:

Таблица 29 – Исходные данные

По каждому району и по обоим районам вместе найти моду и медиану (аналитически и графически)

Задача 27. Имеется следующий ряд распределения телеграмм, принятых отделением связи, по числу слов, таблица 30:

Таблица 30 – Исходные данные

Рассчитайте и изобразите графически структурные средние.

Задача 28. Имеются следующие данные о распределении сотрудников коммерческого банка по среднемесячной заработной плате, таблица 31:

Таблица 31 – Исходные данные

Определите структурные средние.

Задача 29. По данным задачи 23 рассчитать эксцесс, показатель асимметрии, а также построить их графически.

Задача 30. По данным задачи 24 вычислить абсолютные и относительные показатели вариации.

Задача 31. Средняя урожайность зерновых культур в двух районах за 2008-2012 гг. характеризуется следующими данными, ц/га, таблица 32:

Таблица 32 – Исходные данные

Рассчитайте все показатели вариации. Определите, в каком районе урожайность зерновых культур более устойчива.

Задача 32. По данным задачи 25 определите дисперсию и среднее квадратическое отклонение глубины скважин, применяя способ отсчета от условного нуля.

Задача 33. По данным задачи 26 определить дисперсии чистой прибыли: 1) групповые (по каждому району); 2) среднюю из групповых; 3) межгрупповую; 4) общую.

Задача 34. По данным задачи 27 рассчитать абсолютные и относительные показатели вариации.

Задача 35. По данным задачи 28 определить все показатели вариации. Сделать выводы.

Задача 36. Имеются следующие выборочные данные о расходах на платные услуги домохозяйствами района, таблица 33:

Таблица 33 – Исходные данные

Определить для домохозяйств района дисперсии: 1) групповые (по каждому району); 2) среднюю из групповых; 3) межгрупповую; 4) общую.

Задача 37. Имеются следующие выборочные данные о вкладах населения района, таблица 34:

Таблица 34 – Исходные данные

Определите тесноту связи между средним размером вклада и типом населения, исчислив эмпирическое корреляционное отношение, эмпирический коэффициент детерминации.