Системы дифференциальных уравнений

Во многих прикладных задачах требуется определить сразу несколько функций, связанных между собой несколькими дифференциальными уравнениями. Совокупность таких уравнений называется системой ДУ

В дальнейшем ограничимся рассмотрением систем в нормальной форме (в таких системах правые части уравнений не содержат производных искомых функций).

Для интегрирования этой системы применим метод исключения, с помощью которого данная система двух уравнений относительно двух искомых функций  сводится к одному уравнению второго порядка относительно одной неизвестной функции.

Пример

Запишем систему иначе:

Из первого уравнения, например, выразим y (можно выразить x):

Найдем производную:

Подставим во второе уравнение системы y и y’, выраженные через x(t).

, упростим:

,

.

Получили дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами относительно неизвестной функции x (см. предыдущий раздел). Решим его.

:

По теореме Виета:

Найдем другую неизвестную функцию:

=

=3С₁e^5t-C₂e^t,

т. е. решение системы имеет вид:

.

 – произвольные постоянные.

Ряды

Ряд, сходимость, сумма.

Пусть дана последовательность чисел

Числовым рядом называется выражение

. (1)

Сумма первых членов называется частичной суммой.

Частичные суммы образуют в свою очередь последовательность , которая для одних рядов сходится, для других – расходится.

Ряд (1) называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм .

S называется суммой ряда. Если этот предел не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся.

Расходящиеся ряды суммы не имеют.

Свойства сходящихся числовых рядов.

1) Если ряд сходится и имеет сумму S, то ряд  сходится и имеет сумму CS.

2) Если ряды  и  сходятся и имеют суммы  и  соответственно, то сходятся и ряды  и имеют суммы .

3) Добавление и отбрасывание конечного числа слагаемых не влияет на характер сходимости ряда.

Знакоположительные ряды. Необходимый признак сходимости.

Теорема. Если ряд сходится, то .

Обратное утверждение неверно: если , то ряд может и сходиться и расходиться.

Следствие (достаточный признак расходимости ряда):

Если , то ряд  расходится.

Примеры.

1)  – ряд расходится.

2)  – ничего нельзя сказать о характере сходимости ряда. Нужны дополнительные исследования с помощью других признаков.