Свойства определенного интеграла

1) ;        2) ;

3) ;          4) ;

5) ;

6) Если , то ;

Если , то .

Следствие. Если , то .

7) Если f(x) непрерывна на [a, b], m, M- ее соответственно наименьшее и наибольшее значение на [a, b], то справедлива оценка

8) (Теорема о среднем) . Если f(x) непрерывна на [a, b], то существует хотя бы одна точка  такая, что

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть f(x) – непрерывна на [a, b], F(x) – первообразная функции f(x) на [a,b], тогда определенный интеграл равен приращению первообразной (т.е. неопределенного интеграла) на этом отрезке:

Примеры

1) ;

2)

Интегрирование по частям

(см. интегрирование по частям в разделе "Неопределенный интеграл")

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид

Пример.

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема. Пусть f(x) непрерывна на [a, b], введем подстановку . Если

1)  непрерывны при ,

2) при изменении t от  до , функция  изменяется от a до b, , то справедлива формула замены переменной:

Пример (см. задание 2):

Вычисление площадей плоских фигур

 – площадь криволинейной трапеции.

Площадь фигуры, ограниченной линиями , находим по формуле

Эта формула остается справедливой при любом расположении рассматриваемой фигуры.

Пример (см. задание 3):

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , .

1) Найдем точки пересечения данных кривых.

;

;

;

; .

2) Построим графики данных функций.

 (для прямой )

 (парабола ).

4 Дифференциальные уравнения

Основные понятия  

1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные:

.

2. Наивысший порядок производной искомой функции, входящей в ДУ, называется порядком ДУ.

3. Решить ДУ – это значит найти все функции, которые ему удовлетворяют, т. е. при подстановке их в уравнение, оно обращается в тождество.

4. Нахождение решений ДУ называется интегрированием ДУ, график решения ДУ называется интегральной кривой.

Дифференциальные уравнения 1 порядка

ДУ первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную:

или в явном виде

(1)

Теорема Коши. Если в уравнении (1) функции ,  определены и непрерывны в некоторой области изменения переменных x и y , то какова бы ни была внутренняя точка  этой области, ДУ имеет единственное решение y=y(x) , удовлетворяющее начальным условиям

(2)

Геометрически это означает, что через каждую внутреннюю точку  проходит единственная интегральная кривая.

Определение . Функция y=y(x, С), зависящая от аргумента и произвольной постоянной С, называется общим решением ДУ, если

1) при любых значениях С функция y =y(x, С) является решением уравнения (1);

2) Какова бы ни была точка , существует единственное значение постоянной   такое, что  – есть решение (1), удовлетворяющее начальным условиям (2).