Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Свойства определенного интеграла
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) Если , то ; Если , то . Следствие. Если , то . 7) Если f(x) непрерывна на [a, b], m, M- ее соответственно наименьшее и наибольшее значение на [a, b], то справедлива оценка 8) (Теорема о среднем) . Если f(x) непрерывна на [a, b], то существует хотя бы одна точка такая, что Формула Ньютона-Лейбница Пусть f(x) – непрерывна на [a, b], F(x) – первообразная функции f(x) на [a,b], тогда определенный интеграл равен приращению первообразной (т.е. неопределенного интеграла) на этом отрезке:
Примеры 1) ; 2) Интегрирование по частям (см. интегрирование по частям в разделе "Неопределенный интеграл") Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид Пример. Замена переменной в определенном интеграле Теорема. Пусть f(x) непрерывна на [a, b], введем подстановку . Если 1) непрерывны при , 2) при изменении t от до , функция изменяется от a до b, , то справедлива формула замены переменной: Пример (см. задание 2):
Вычисление площадей плоских фигур – площадь криволинейной трапеции.
Площадь фигуры, ограниченной линиями , находим по формуле Эта формула остается справедливой при любом расположении рассматриваемой фигуры.
Пример (см. задание 3): Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , . 1) Найдем точки пересечения данных кривых. ; ; ; ; . 2) Построим графики данных функций. (для прямой ) (парабола ). 4 Дифференциальные уравнения Основные понятия 1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные: . 2. Наивысший порядок производной искомой функции, входящей в ДУ, называется порядком ДУ. 3. Решить ДУ – это значит найти все функции, которые ему удовлетворяют, т. е. при подстановке их в уравнение, оно обращается в тождество. 4. Нахождение решений ДУ называется интегрированием ДУ, график решения ДУ называется интегральной кривой. Дифференциальные уравнения 1 порядка ДУ первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную: или в явном виде
Теорема Коши. Если в уравнении (1) функции , определены и непрерывны в некоторой области изменения переменных x и y , то какова бы ни была внутренняя точка этой области, ДУ имеет единственное решение y=y(x) , удовлетворяющее начальным условиям
Геометрически это означает, что через каждую внутреннюю точку проходит единственная интегральная кривая. Определение . Функция y=y(x, С), зависящая от аргумента и произвольной постоянной С, называется общим решением ДУ, если 1) при любых значениях С функция y =y(x, С) является решением уравнения (1); 2) Какова бы ни была точка , существует единственное значение постоянной такое, что – есть решение (1), удовлетворяющее начальным условиям (2). |
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 245. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |