Линейные   однородные   Д.У.  второго  порядка с  постоянными

 коэффициентами

Это уравнения вида

,

(1)

где  – константы.

Общее решение такого уравнения имеет вид

где  – произвольные постоянные

-общее решение однородного уравнения,

-линейно независимые частные решения уравнения (1).

Определение. Функции и  называются линейно независимыми (зависимыми) на (a, b), если при

Решение уравнения (1) сводится к решению алгебраического уравнения

,

(2)

называемого характеристическим, в котором степень k равна порядку производной в уравнении (1).

При этом возможны следующие случаи:

1. При  уравнение (2) имеет действительные различные корни , тогда частные решения ДУ (1) имеют вид ,  (в чем можно убедится непосредственной подстановкой).

Они линейно независимы (смотри определение). Тогда общее решение (1) имеет вид:

2. При  характеристическое уравнение (2) имеет два действительных равных корня , тогда частными решениями Д.У. (1) являются функции , общее решение (1) имеет вид

3. Если , то характеристическое уравнение (2) не имеет действительных корней, но имеет комплексные корни вида .

Тогда частные решения

Общее решение (1) имеет вид

Примеры (см. задание 5):

1) , составим характеристическое уравнение:

; ; .

2) , составим характеристическое уравнение

;

;

.

3)

4)