Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
ДУ с разделяющимися переменными
ДУ называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде , где правая часть есть произведение сомножителей, каждый из которых является функцией только одной переменной. Способ решения: разделение переменных по соответствующим дифференциалам (при dx должна стоять функция, зависящая от x, при dy – функция зависящая от y). Пример: 1) ; ; ; ; ; – общее решение ДУ. 2) Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям . Найдем общее решение – общее решение. Выделим из него частное, удовлетворяющее начальным условиям , . ; С=-22, тогда – из всего семейства интегральных кривых (парабол) выделили одну, проходящую через заданную точку (4; 2). Однородные функции Функция f(x,y) называется однородной k-ой степени однородности, если выполняется равенство: . В частности, если – функция однородная нулевой степени однородности. Примеры 1) . – однородная функция второй степени однородности. 2) . – однородная функция нулевой степени однородности. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка ДУ первого порядка называется однородным, если его можно представить в виде , где – однородная функция нулевой степени однородности. Однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y=xt, dy=xdt+tdx. Примеры 1) ; xdy=(x+y)dx, y=xt, dy=xdt+tdx x(xdt+tdx)=(x+xt)dx xdt+tdx=(1+t)dx xdt+tdx=dx+tdx xdt=dx
, вернемся к старой переменной . 2) Пусть y=xt, dy=xdt+tdx, ; -е-t=ln|x|+C. Вернемся к старым переменным: . Линейные дифференциальные уравнения первого порядка ДУ первого порядка называется линейным, если его можно представить в виде , где P(x), Q(x) – заданные функции (функция y и ее производная или дифференциал dy входят в уравнение линейно, т.е. в первой степени и порознь друг от друга). Один из способов решения – метод Бернулли (подстановка Бернулли). Будем искать решение в виде y=UV, тогда Подставим в уравнение .Выберем V так, чтобы , тогда . Таким образом, решение данного линейного уравнения сводится к последовательному решению двух уравнений с разделяющимися переменными: , решая его находим V, подставляем V во второе: , из которого находим U. Тогда решение первоначального уравнения имеет вид Примеры (см. задание 4): 1) . Пусть , тогда , , сведем его к двум уравнениям 1) ; 2) , решаем их последовательно. а) (ищем частный интеграл) V = cos x. б) U = sin x + C, Тогда решение первоначального уравнения имеет вид . 2) , при . ; ; ;
– общее решение. Выделим частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: ; ; |
||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 311. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |