Линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Это уравнение вида:

,

(3)

где

 – многочлены степени n и m соответственно.

 – постоянные величины.

Известно, что общее решение таких уравнений имеет вид

,

где  – какое-либо частное решение неоднородного уравнения (3),

 – общее решение соответствующего однородного уравнения

Частное решение уравнения (3) ищем в виде, подобном правой части:

,

(4)

где  многочлены k-той степени с неизвестными коэффициентами, определяемыми в процессе решения, k=max{n,m}.

При этом следует составить число , где  – коэффициент при x в показателе ,  – коэффициент при x в аргументе синуса или косинуса (если один из них отсутствует). Если это число не является корнем характеристического уравнения, то  в виде (4) оставляем без изменения, если  есть корень кратности s (повторяется s раз), то выбранный  домножаем на .

Примеры

1) Если , то смотрим является ли корнем характеристического уравнения число ,

8 – многочлен нулевой степени, в общем виде это некоторое число, т.е. выбираем .

2)

.

После предварительного выбора  проверяем, является ли число  корнем характеристического уравнения. Далее находим первую, вторую производную , подставляем их в первоначальное уравнение и находим A, B, C.

Примеры (см. задание 5):

а) Найдем , решим соответствующее однородное уравнение

, составим характеристическое уравнение

,

(корень кратности 2 – повторяется 2 раза),

тогда -общее решение соответствующего однородного уравнения.

б) Найдем . Его будем искать в виде, подобном правой части. Там -это многочлен второй степени, в общем виде это , т.е.

.

Число  не является корнем характеристического уравнения, значит,  оставим в выбранном виде. Теперь найдем неизвестные коэффициенты . Так как  – есть решение первоначального дифференциального уравнения, то оно обращает это уравнение в тождество. Найдем  и подставим в первоначальное уравнение

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного. Приравняем коэффициенты при  (свободный член) в обеих частях

тогда

.

Общее решение

.

,

а) -решаем соответствующее однородное уравнение. Составим его характеристическое уравнение.

б) ,

-является корнем характеристического уравнения, тогда  домножим на x , так как пара повторяется один раз, тогда окончательно

.

Найдем A и B.

Подставим в первоначальное ДУ

Приравниваем коэффициенты при sin x и cos x

,

тогда .

Замечание. Если в правой части отсутствуют  и , частное решение ищем все равно в виде суммы двух слагаемых.