Задание 5. Определение устойчивости откоса методом

Круглоцилиндрических поверхностей скольжения

Определить коэффициент устойчивости откоса, сложенного однородным грунтом с характеристиками g, j, с при заданном положении кривой скольжения в виде дуги окружности с центром в т. О₁.

Крутизна откоса 1:m, где ; откос нагружен равномерно распределенной нагрузкой q.

Исходные данные – по табл. 5.1.

Рис. 5.1. Схема к задаче 3

Таблица 5.1. Исходные данные к задаче 5

Пример

Откос сложен однородным грунтом с характеристиками:
γ = 17,5 кН/м³, φ=30 ^°, с = 20 кПа. Высота откоса Н=4,4 м, крутизна l:m, где m = 1,1. На поверхности откоса приложена равномерно распределенная нагрузка q = 12 кПа. Определить коэффициент устойчивости откоса для
h = 10,7 м. (рис. 5.2).

Рис. 5.2. Схема откоса и положение дуги скольжения

Решение

Примем координатную систему xz; радиусом R=(h+H), проводим дугу окружности, выделив массив грунта DAB (рис. 5.3)

Координаты точек: О₁ (0;-10,7); D (0;4,4); А (m×H;0) или А (4,84;0).

Из Δ ОО₁В имеем , откуда

.

Тогда , а т. В имеет координаты (10,65;0).

Рис. 5.3. Схема деления массива на отсеки

Решение проводим по алгоритму:

1. Делим массив DAB на 6 отсеков, нумеруя их снизу вверх:
b₁= b₂=1,6 м; b₃=1,64 м; b₄= b₅=1,9 м; b₆=2,01 м.

2. Записываем уравнение окружности с центром в т. О₁ (0;-10,7)

x²+(z+10,7)²=R² или x²+z²+21,4z – 113,52=0.

3. Вычисляем правые высоты отсеков.

Для отсека №1, используя уравнение окружности, при x₁=1,6 м, получаем z₁=4,32 м. Тогда

Аналогично для отсека № 2 при x₂=3,2 м получаем z₂=4,06. Правая высота отсека

Для отсека №3 x₃=4,84 м, z₃=3,6 м и

Для 4 – 6 отсеков соответственно имеем:

x₄=6,74 м, z₄ = h₄=2,81 м;

x₅=8,64 м, z₅ = h₅ =1,68 м;

x₆=10,65 м, z₆ = h₅ = 0 м.

4. Определяем площади отсеков, пренебрегая кривизной поверхности скольжения в силу незначительной разницы в длине между хордой и дугой в пределах одного отсека:

; ; ; ;

; .

5. Определяем вес отсеков (l = 1 м); для № 4, № 5 и № 6 учитываем
действие нагрузки q = 12 кПа:

Q₁=S₁×g = 1·17,5=19,25 кН/м;

Q₂ = S₂×g = 3,15·17,5=55,13 кН/м;

Q₃ = S₃×g = 5,06·17,5=88,55 кН/м;

Q₄ = S₄×g +q×b₄ = 6,09·17,5+12·1,9=129,38 кН/м;

Q₅ = S₅×g +q×b₅ = 4,27·17,5+12·1,9=97,53 кН/м;

Q₆ = S₆×g +q×b₆ =1,69·17,5+12·2,01=53,70 кН/м.

Равнодействующие Q_i считаем приложенными в точках пересечения соответствующего участка дуги скольжения и вертикальной линии, проходящей через центр тяжести отсека, т.е. в точках с абсциссами:

; ;

;

;

;

.

6. Определяем центральные углы a_i между вертикалью и радиусом в точке приложения веса отсека по формуле :

; ; ; ; ; .

7. Центральный угол, соответствующий дуге DB:

.

Длина дуги кривой скольжения определяется из соотношения

.

Силы Q_i раскладываем на две составляющие: нормальную N_i к заданной поверхности и касательную T_i, учитывая также сцепление грунта по всей поверхности скольжения. Составляем таблицу для расчета коэффициента устойчивости.

Таблица 5.2. Определение составляющих сил от веса отсеков

№	Qi	ai	sinai	cosai	Ti =Qi sinai	Ni =Qi cosai
1	19,25	4,1	0,071	0,997	1,37	19,19
2	55,13	9,5	0,165	0,986	9,1	54,36
3	88,55	15,6	0,269	0,963	23,82	85,27
4	129,38	22,4	0,381	0,925	49,29	119,68
5	97,59	30,3	0,505	0,863	49,28	84,22
6	53,70	38,1	0,617	0,787	33,13	42,26

Рассчитываем коэффициент устойчивости для принятого очертания поверхности скольжения как отношение момента удерживающих сил (к которым относится сила трения и сцепление) к моменту сил сдвигающих (касательная составляющая веса отсеков):

.

Вывод. Для заданного положения поверхности скольжения откос устойчив, т. к. K_уст=2,83 > 1.

На практике условие устойчивости должно выполняться для минимального значения коэффициента устойчивости, рассчитанного для наиболее опасной возможной поверхности скольжения.

Задание 6. Определение активного и пассивного давлений грунта

На подпорную стенку

 Построить эпюры активного и пассивного давлений грунта на подпорную стенку с гладкими вертикальными гранями и горизонтальной поверхности засыпки (рис 6.1). Определить равнодействующие давлений, указать точки их приложения и ширину призм обрушения и выпора.

Исходные данные – по табл. 6.1.

Рис 6.1. Схема к задаче 4

Таблица 6.1. Исходные данные к задаче 6

Пример

Грунт имеет характеристики: γ = 18,5 кН/м³, φ=25 ^°, с = 6 кПа. Передняя и задняя грани стенки гладкие вертикальные. Высота задней грани Н=4,7 м, передней – d=1,6 м. На горизонтальной поверхности засыпки приложена равномерно распределенная нагрузка q = 25 кПа. Построить эпюры активного и пассивного давлений грунта на подпорную стенку и определить равнодействующие давлений, указав точки их приложения и ширину призм обрушения и выпора (рис. 6.2).

Рис 6.2. Схема подпорной стенки

Решение

Подпорная стенка, поддерживая грунт от обрушения, испытывает с его стороны давление, которое принято называть активным. Активное давление, воздействуя на стенку, вызывает ее смещение, что приводит к возникновению сопротивления грунта с другой стороны. Это сопротивление называется пассивным давлением. В первом случае вертикальное напряжение s_z = s₁ = max, а горизонтальное напряжение s_x = s_a = min– активное давление, во втором s_z = s₃ = min, а s_x = s_p = max – пассивное давление.

Активное давление грунта на абсолютно гладкую (отсутствует трение) подпорную стенку без учета сцепления грунта определяется по формуле

,

где g - удельный вес грунта; z – глубина точки, в которой определяется давление;  – коэффициент активного давления:

.

Активное давление грунта на нижней грани подпорной стенки, т.е. на глубине z = H:

σ_a = γ·H·λ_а = 18,5·4,7·0,41 = 35,65 кПа.

Наличие сцепления уменьшает активное давления на величину

.

В этом случае эпюра активного давления начинается на глубине

При действии по поверхности засыпки сплошной равномерно распределённой нагрузки q активное давление грунта

.

Равнодействующая активного давления

Равнодействующая от давления  приложена в центре тяжести эпюры , т.е. на расстоянии H/3 = 1,57 м, равнодействующая от давления s_qa – на расстоянии H/2 = 2,35 м от нижней грани подпорной стенки.

Пассивное давление на нижней грани подпорной стенки определяется по формуле:

,

где  – коэффициент пассивного давления; .

;

;

.

Равнодействующая пассивного давления

.

Точка приложения пассивного давления находится на расстоянии  от нижней грани подпорной стенки.

Определяем размеры призм обрушения и выпора:

,

.

Строим эпюры активного и пассивного давлений грунта на подпорную стенку.

Рис 6.3. Эпюра активного и пассивного давлений грунта на подпорную стенку