Тема 3. Линейные функционалы и операторы

Глава 1. Линейные функционалы.

§ 1. Непрерывные линейные функционалы.

1.1. Определение линейного функционала.

Def Пусть  - линейное нормированное пространство. Числовую функцию , определенную на  называют функционалом .

Def Функционал называется линейным, если  обладает свойствами:

1) аддитивности: .

2) Однородности: .

1.2. Примеры линейных функционалов

№ 1. Пусть  есть -мерное пространство с элементами  и  - произвольный набор из  фиксированных чисел. Тогда  - линейный функционал в .

№ 2 В

№ 3. В  более общий случай , где  некоторая фиксированная непрерывная функция на . Линейность следует из основных свойств операции интегрирования.

№ 4. В  рассмотрим другой функционал , т.е. фиксируем точку  и для каждой функции  функционал равен значению этой функции в данной точке. Этот функционал обычно записывают через  -функцию Дирака

, где  всюду, кроме , и интеграл от которой равен 1.

№ 5.  Пусть  - фиксированное число: Для каждого  положим .

1.3. Определение непрерывного функционала.

Def В нормированном пространстве функционал  называется непрерывным, если из условия  следует

Def Функционал  называется непрерывным на , если  и  такая окрестность , что  при .

Если  - конечномерное линейное нормированное пространство, то всякий линейный функционал на  автоматически непрерывен. В общем случае из линейности функционала его непрерывность не вытекает.

§ 2 Связь между непрерывностью и ограниченностью.

Лемма. Если линейный функционал непрерывен в одной точке, то он непрерывен всюду на .

Таки образом, проверять непрерывность линейного функционала достаточно в одной точке, например в 0.

Нет определения ограниченного функционала

Теорема 1. Для того, чтобы линейный функционал  был непрерывен на , необходимо и достаточно, чтобы  такая окрестность нуля в , на которой функционал  ограничен.

Теорема 2. Линейный функционал непрерывен тогда и только тогда когда он ограничен.

§ 3. Норма функционала.

3.1. Определение нормы

Def Нормой линейного непрерывного функционала  называется число ,

Равносильные определения .

Из последнего определения следует очевидное свойство .

3.2. Примеры вычисления нормы.

Вычислим нормы функционалов из п.1.2.

№ 1. . , где .

 (План

1) оцениваем , пытаясь выделить

2) делим на , получаем оценку для

3) подбираем элемент , на котором это значение достигается)

, т.е. , т.е. .

№2  в .

.

Т.е.  причем при  достигается равенство .

№ 3 .

Наш оператор линеен, непрерывен  ограничен

.

Если  знакопостоянна на , то равенство достигается при . Если  знакопеременна, то равенство достигается при . Но эта функция не принадлежит . Поэтому надо построить последовательность непрерывных функций .

§ 4 Продолжение линейного функционала.

4.1. Продолжение по непрерывности.

Если в линейном пространстве  задан функционал, определенный не на всем пространстве, а лишь на некотором подмножестве , то естественно возникает вопрос о его продолжении на все пространство с сохранением определенных свойств. Т.е. требуется построить новый функционал, определенный уже на всем пространстве, обладающий определенными свойствами и совпадающий на  с ранее заданным.

Данный вопрос решается легко, если  всюду плотно в .тогда продолжение функционала строится по непрерывности, т.е. , . Положим .

Заметим, что данное продолжение, является продолжением с сохранением нормы.

4.2. Продолжение функционала, заданного на подпространстве. Теорема Хана-Банаха.

Более сложный случай возникает, если функционал задан на подмножестве , не являющимся всюду плотным в .

Теорема Хана-Банаха.

Пусть  - линейное нормированное пространство,  - его подпространство. Тогда для любого непрерывного функционала , заданного на , существует такой функционал , заданный на всем , что 1) , если

2) .

4.3. Следствие из теоремы Хана-Банаха.

Следствие 1. , , .

Следствие 1 утверждает существование в любом линейном нормированном пространстве линейного непрерывного функционала, не равного тождественно нулю..

Следствие 3. Пусть  - фиксированный элемент из . Если , то .

Следствие 4. (Об отделимости элемента и подпространства)

Пусть  - подпространство .  и .

Тогда  линейный функционал , определенный всюду на  и такой, что

1)

2)

3) .

Следствие 5 (Критерий замкнутости системы).

Для того чтобы система элементов  была замкнутой необходимо и достаточно, чтобы из того, что функционал  обращается в нуль на всех элементах  следовало, что .

§ 5. Сопряженное пространство.

Пусть  - множество всех линейных непрерывных функционалов, определенных на . Введем в  операции сложения и умножения на число

; .

Примем за норму элемента  норму  соответствующего функционала. Поскольку она также удовлетворяет всем аксиомам нормированного пространства, то  - линейное нормированное пространство. Оно называется сопряженным пространством к .

Т.к.  линейное нормированное пространство, то можно говорить о пространстве , непрерывных линейных функционалов на , т.е. о втором сопряженном пространстве к .

Def Те пространства для которых  называются рефлексивными.

В этом случае  и     ( )

Вложение  желательно определять равенством .

§ 6. Сильная и слабая сходимости.

6.1. Сильная сходимость

Def Последовательность функционалов  сходится к элементу , сильно, если  при .

Теорема. Сопряженное пространство  полно (в сильной топологии) внезависимости от того, полно само  или нет.

6.2. Теорема Банаха-Штейнгауза (Критерий слабой сходимости)

Теорема.

Если последовательность  линейных функционалов, ограничена в каждой точке , то последовательность норм  этих функционалов, также ограничена.

6.3. Слабая сходимость.

Def Последовательность  называется слабо сходящейся к элементу , если для каждого фиксированного .

Теорема 1 (Критерий слабой сходимости для функционалов)

Для того, чтобы последовательность  линейных функционалов слабо сходилась к линейному функционалу , необходимо и достаточно, чтобы:

1^о. Последовательность  была ограничена

2^о.  для любого  из некоторого множества , линейные комбинации элементов которого лежат всюду плотно в  (т.е. на базисе.)

Заметим, что из теоремы Банаха-Штейнгауза следует важный результат.

Теорема 2. Пространство  полно в слабой топологии, если само  - полно.

6.4. Связь между сильной и слабой сходимостью.

Из сильной сходимости последовательности функционалов следует ее слабая сходимость

Из слабой сходимости последовательности функционалов следует сильная только в случае конечномерных пространств.

В общем случае это неверно.

§ 7. Общий вид линейных функционалов.

7.1. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса.

Теорема Рисса.

Всякий линейный непрерывный функционал  в гильбертовом пространстве  имеет вид , где  - некоторый элемент из , однозначно определяемый функционалом . При этом .

Теорема Рисса означает, что сопряженное пространство  изоморфно самому  (т.е. можно установить взаимнооднозначное соответствие).

7.2. Общий вид линейного функционала в  и  ( ).

№ 1 ,  изоморфно

, где

 или .

№ 2. ,  изоморфно пространству  всех ограниченных последовательностей с нормой

, где

.

№ 3  - пространство стремящихся к нулю последовательностей  с нормой

 изоморфно пространству

,  

№ 4 ,  изоморфно

, где

.

№ 5.  изоморфно пространству  - ограниченных на  функций, т. е. Функций, существенные максимумы которых конечны (почти всюду огранич. функций)

; где  - почти всюду на  ограниченная функция и .

Заметим, что при  и  т.е.  и  - самосопряженные пространства, т.е. гильбертовы.

7.3. Общий вид линейного функционала в

Теорема (Ф.Рисса) всякий линейный непрерывный функционал  в пространстве представим в виде интеграла Стилтьеса

, где  - некоторая функция ограниченной вариации на .

При этом .

Эта теорема устанавливает изоморфизм  и  - пространства функций с ограниченным изменением.

Глава II. Линейные операторы.

§ 1. Непрерывные линейные операторы

1.1. Определение линейного оператора.

Def оператор , определенный на пространстве  и принимающий значения в пространстве , называется линейным, если этот оператор

1) аддитивен, т.е. .

2) Однороден, т.е. , .

В дальнейшем будем писать также

1.2. Определение непрерывного оператора

Def Оператор  называется непрерывным в точке , если  при  (здесь ) или, что равносильно: если .

Def Если оператор непрерывен в каждой точке , то говорят, что  непрерывен на .

Теорема. Если линейный оператор , действующий из банахова пространства  непрерывен в какой-либо одной точке банахова пространства , то он равномерно непрерывен на всем .

1.3. Примеры линейных операторов

№ 1. Пусть , где  - линейное нормированное пространство.

Такой оператор, переводящий каждый элемент пространства в себя, называется единичным оператором.

№ 2. Пусть , где  непрерывная фиксированная функция, такой оператор называется оператором умножения на функцию , линейность оператора очевидна.

№ 3. Пусть  - оператор дифференцирования , где  -пространство непрерывно дифференцируемых функций на  с нормой .

№ 4. Общий вид линейного оператора, переводящего конечномерное пространство в конечномерное. Пусть , тогда , такой что . Ясно, что оператор  определяется матрицей коэффициентов

§ 2. Связь между непрерывностью и ограниченностью

Def Оператор  называется ограниченным, если  такая постоянная , что .

Теорема. Для того чтобы линейный оператор был непрерывен  чтобы он был ограничен.

§ 3. Норма оператора.

3.1. Определение нормы оператора.

Def Пусть  - линейный ограниченный оператор. Наименьшая из постоянных , удовлетворяющих условию  при всех  называется нормой оператора  и обозначается .

Равносильные определения .

3.2. Примеры вычисления нормы

Вычислим нормы операторов из п. 1.3.

№1. .

№2. .

Так как , то

Равенство достигается при .

№3

.

Единица не достигается, но , т.к. к ней можно сколь угодно приблизиться, например, на последовательности , , поэтому .

§ 4. Продолжение линейного оператора

В отличие от линейного функционала, линейный оператор может продолжаться только по непрерывности, т.е. теорем Хана-Банаха места не имеет.

Если линейный ограниченный оператор  задан на  - плотном множестве линейного нормированного пространства  и если  - банахово пространство, то данный оператор  можно продолжить по непрерывности на все пространство  с сохранением нормы.

Данное продолжение единственно.

§ 5. Пространство линейных ограниченных операторов.

5.1. Полнота пространства операторов.

Пусть  и  - линейные нормированные пространства. Обозначим символом  совокупность всех линейных непрерывных операторов, действующих из  в .

Действуя по аналогии с функционалами, введем в  структуру линейного пространства следующим образом:

,   .

Каждому элементу этой совокупности  поставим в соответствие норму этого элемента .

Теорема. Множество  с заданной нормой и операциями сложения и умножения на число является линейным нормированным пространством.

Если же  - банахово пространство, то и  - банахово.

5.2. Сходимость последовательности операторов.

Def Последовательность  назовем сходящейся по норме к оператору , если .

Def Сходимость по норме называют также равномерной сходимостью. Если  - функционал – то это сильная сходимость.

Def Последовательность  назовем сильно сходящейся к , если .

Def Последовательность  называют слабо сходящейся к оператору  и обозначают , если .

Заметим, что сходимости связаны следующими соотношениями

.

В обратную сторону неверно.

Теорема 1.

Пространство  полно относительно поточечной сходимости, если ,  - банахово (полное) пространство.

Основную роль в доказательстве этого факта играет

Теорема 2 (Банаха-Штейнгауза; принцип равномерной ограниченности).

Пусть ,  - банаховы пространства. Если последовательность  ограничена в каждой точке , то последовательность норм  ограничена.

5.3. Функции операторов

Вначале введем произведение операторов

Если , , то .

Тогда  - линейный ограниченный оператор из .

В случае, если , то здесь можно определить операторы и  и .

Учтем, что операция умножения свойством коммутативности не обладает, т.е. .

Теперь в  можно ввести любую степень оператора

, , .

Тогда, чтобы определить функции операторов воспользуемся стандартными разложениями

, , , …

(Ряды сходятся, так как сходятся ряды из норм, а пространство  полное, т.е. предел есть).

§ 6. Обратный оператор.

6.1. Понятие обратного оператора.

Решение систем линейных алгебраических уравнений, линейных интегральных уравнений, а также некоторых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными сводится к вопросу о существовании и единственности решения линейных операторных уравнений вида .

Пусть задан линейный оператор , причем, его область определения , а область значений .

Обратное отображение, обозначаемое , называется обратным оператором.

Предположим, что оператор  отображает  на  взаимно однозначно. В этом случае существует обратный оператор  отображающий  взаимно однозначно на . В этом случае оператор  также является линейным оператором.

Def Множество тех , для которых , называется ядром линейного оператора  и обозначается .

Теорема. Линейный оператор  переводит  в  взаимно однозначно  когда .

6.2. Односторонние обратные операторы

Def Линейный оператор  имеет левый обратный, если  такой, что .

В этом случае решение  единственно однако вопрос о существовании решения остается открытым.

Def Линейный оператор  имеет правый обратный, если  такой, что , .

Def Если линейный оператор  имеет правый и левый обратный, то они равны, т.е. оператор  имеет единственный обратный оператор .

6.3. Теорема 1. Линейный оператор  непрерывно обратим (т.е.  линеен, непрерывен, а значит и ограничен) тогда и только тогда, когда областью значений оператора  будет все ,  и  такая, что  

Теорема 2.

Пусть  - банахово пространство, если оператор , такой, что , то оператор  непрерывно обратим, справедливо равенство , где ряд сходится равномерно, и справедлива оценка .

Теорема 3. Множество обратимых операторов  открыто.

6.4. Теорема Банаха об обратном операторе.

Теорема. Если  - линейный оператор, отображающий взаимно однозначно банахово пространство  на банахово пространство , то обратный оператор  ограничен.

Следствие 1. (Теорема об открытом отображении)

Линейное непрерывное отображение  банахова пространства  на все банахово пространство  открыто.

Следствие 2. (Лемма о тройке).

Пусть  - банаховы пространства и  и  - непрерывные линейные операторы из  в  и из  в , соответственно, причем  отображает  на все  (т.е. ). Если при этом , то  такой непрерывный линейный оператор , отображающий  в , что .

§ 7. Сопряженный оператор.

7.1. Определение сопряженного оператора.

Рассмотрим непрерывный линейный оператор , отображающий линейное нормированное пространство  в такое же пространство . Пусть  - линейный функционал, определенный на , т.е. .

Обозначив  через  получим

 или .

Def Это соотношение и примем за определение сопряженного оператора.

7.2. Свойства сопряженного оператора.

1. Оператор  линеен

2.

3.  

4.

5.

6. .

7.3. Унитарный оператор.

Def Пусть  - комплексное гильбертово пространство. Оператор  отображает  на все  взаимно однозначно. Оператор  называется унитарным, если  выполняется равенство  (т.е. унитарный оператор сохраняет скалярное произведение).

Свойства унитарного оператора

1^о. Унитарный оператор линеен и ограничен.

2^о. Унитарный оператор имеет обратный, который также унитарен.

3^о. Произведение двух унитарных операторов есть унитарный оператор.

4^о. Оператор  является унитарным тогда и только тогда, когда  [это следует из ].

5^о. Унитарный оператор отображает  с сохранением нормы, т.е. . [это следует из определения, т.к. ].

Точка  называется регулярной, если

1)

2)

Тогда из теоремы об обратном операторе существует обратный оператор  называемый резольвентой.

7.4. Понятие сопряженного оператора.

    пусть  - гильбертово пространство. Оператор,  называется самосопряженным, если . т.е.  выполняется равенство .

    Множество всех сопряженных операторов из  обозначается .

Теорема 1. Если , , то

Теорема 2. Пусть , .

Теорема 3. Если , то .

§ 8. Спектр оператора. Резольвента.

8.1. Конечномерный случай.

Пусть  - линейный оператор в  - мерном пространстве . Число  называется собственным значением оператора , если уравнение  имеет ненулевые решения . Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора , а все остальные значения  - регулярными. Иначе говоря,  - есть регулярная точка, если оператор  обратим. При этом  определен на всем  и, как и всякий оператор в конечномерном пространстве, ограничен.

Итак, в конечномерном пространстве существуют две возможности:

1) Уравнение  имеет ненулевое решение, т.е.  есть собственное значение оператора , оператор  при этом не существует.

2) существует ограниченный оператор , определенный на всем пространстве, т.е.  регулярная точка.

8.2. Резольвентное множество

Определение Комплексное число (точка комплексной плоскости) называется регулярной точкой оператора , если оператор  имеет обратный оператор , являющийся линейным непрерывным оператором, заданным на .

Совокупность всех регулярных точек оператора  называется резольвентным множеством оператора  и обозначается .

Если , то оператор  из  называется резольвентой оператора .