Тема 3. Линейные функционалы и операторы

Тема 1. Метрические пространства

ГЛАВА 1. МНОЖЕСТВА

§ 1. Операции над множествами

§ 2. Мощность множества

       2.1. Конечные и счетные множества

       2.2. Несчетные множества

       2.3. Мощность множеств

ГЛАВА 2. МЕТРИЧЕСКИЕ, НОРМИРОВАННЫЕ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА

§ 1. Метрические пространства

1.1. Примеры метрических пространств

1.2. Непрерывное отображение

1.3. Предельные точки. Замыкание

1.4. Сходимость в метрических пространствах

1.5. Сепарабельность

1.6. Открытые и замкнутые множества

1.7. Открытые и замкнутые множества на прямой

1.8. Полные метрические пространства

1.9. Теорема о вложенных шарах и теорема Бора

1.10. Пополнение метрического пространства

§ 2. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

       2.1. Линейные пространства. Определение и примеры

       2.2. Подпространства

       2.3. Фактор-пространства

       2.4. Нормированные пространства. Определение и примеры

§ 3. ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА

3.1. Предгильбертово пространство

3.2 Гильбертово пространство

3.3.Подпространства гильбертова пространства, ортогональные дополнения

ГЛАВА 3. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ

§ 1. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ

§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

2.1. Уравнения Фредгольма

2.2. Уравнения Вольтерра

ГЛАВА 4. КОМПАКТНОСТЬ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ

§ 1. ПОНЯТИЕ КОМПАКТНОСТИ

§ 2. КОМПАКТНОСТЬ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ

2.1 Полная ограниченность

2.2.Теорема Арцела-Асколи

ТЕМА 2. МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

ГЛАВА 1. МЕРА ЛЕБЕГА

§ 1. МЕРА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ МНОЖЕСТВ

§ 2. ЛЕБЕГОВА МЕРА ПЛОСКИХ МНОЖЕСТВ

2.1. Внешняя мера множеств

2.2. Измеримые множества

2.3. Лебегова мера на прямой

§ 3. ЛЕБЕГОВО ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ

3.1. Счетная аддитивность меры

2.4. Лебегово продолжение меры

ГЛАВА 2. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ

§ 1. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ

1.1. Определение и основные свойства

1.2. Эквивалентность функций

§ 2. Сходимость почти всюду

2.1 Определение сходимости почти всюду

2.2 Теорема Егорова

§ 3. СХОДИМОСТЬ ПО МЕРЕ

3.1. Определение сходимости по мере

3.2.Связь между сходимостью почти всюду и по мере

3.3. Теорема Лузина и С-свойство

ГЛАВА 3. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

§ 1. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ДЛЯ ПРОСТЫХ ФУНКЦИЙ

1.1. Отличие от интеграла Римана

1.2. Простые функции

1.3. Интеграл Лебега от простых функций

1.4. Свойства интеграла Лебега от простых функций

§ 2. ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

2.1. Определение суммируемой функции

2.2. Свойства интеграла Лебега

2.3. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега

§ 3. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА

3.1. Теорема Лебега

3.2. Теорема Беппо Леви

3.3. Теорема Фату

§ 4. СРАВНЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ЛЕБЕГА И РИМАНА

4.1. Сравнение интегралов по отрезку

4.2. Случай неограниченной функции

4.3. Случай неограниченного промежутка

§ 5. ПРОСТРАНСТВА СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

5.1. Пространство

5.2. Пространство

5.3. Соотношения между различными видами сходимости

5.4. Пространство

Тема 3. Линейные функционалы и операторы

Глава 1. Линейные функционалы

§ 1. Непрерывные линейные функционалы.

1.1. Определение линейного функционала

1.2. Примеры линейных функционалов

1.3. Определение непрерывных функционалов

§ 2. Связь между непрерывностью и ограниченностью.

§ 3. Норма функционала

       3.1. Определение нормы

       3.2. Примеры вычисления нормы.

§ 4. Продолжение линейного функционала

       4.1. Продолжение по непрерывности

       4.2. Продолжение функционала, заданного на подпространстве. Теорема Хана-Банаха.

       4.3. Следствие из теоремы Хана-Банаха.

§ 5 Сопряженное пространство

§ 6 Сильная и слабая сходимости

       6.1. Сильная сходимость

       6.2. Теорема Банаха-Штейнгауза.

       6.3. Слабая сходимость.

       6.4. Связь между сильной и слабой сходимостью.

§ 7 Общий вид линейных функционалов

       7.1. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса.

       7.2. Общий вид линейного функционала в  и  ( )

       7.3. Общий вид линейного функционала в

Глава 2. Линейные операторы.

1.1. Определение линейного оператора

1.2. Определение непрерывного оператора

1.3. Примеры линейных операторов

§ 2. Связь между непрерывностью и ограниченностью.

§ 3. Норма оператора

       3.1. Определение нормы оператора

       3.2. Примеры вычисления нормы.

§ 4. Продолжение линейного оператора.

§ 5. Пространство линейных ограниченных операторов.

       5.1 Полнота пространства операторов

       5.2. Сходимость последовательности операторов.

       5.3. Функции операторов.

§ 6. Обратный оператор

       6.1. Понятие обратного оператора.

       6.2. Односторонние обратные операторы

       6.3. Теоремы об обратном операторе

       6.4. Теорема Банаха об обратном операторе

§ 7 Сопряженный оператор

       7.1. Определение сопряженного оператора

       7.2. Свойства сопряженного оператора

       7.3. Унитарный оператор.

       7.4. Понятие само сопряженного оператора

§ 8. Спектр оператора. Резольвента

       8.1. Конечномерный случай

       8.2. Резольвентное множество

       8.3. Спектр оператора

       8.4. Спектр оператора умножения на функцию

       8.5. Спектральный радиус оператора.

§ 9. Компактный оператор

       9.1. Определение компактного оператора

       9.2. Примеры компактных операторов.

       9.3. Пространство компактных операторов.

       9.4. Свойства компактных операторов

§ 10. Спектр компактного самосопряженного оператора

       10.1. Спектр компактного оператора

       10.2. Спектр компактного самосопряженного оператора