Тема 1. Метрические пространства

ГЛАВА 1. МНОЖЕСТВА

§ 1. Операции над множествами

Под множеством мы будем понимать какую-либо совокупность элементов.

Любое множество содержит  в качестве подмножества.

Подмножества, отличные от самого множества и от , называются собственными.

 - объединение множеств – множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств  и .

 - пересечение множеств – множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих как , так и .

Аналогично определяется объединение и пересечение любого (конечного или бес конечного) числа множеств.

 - совокупность элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств

 - совокупность элементов, каждый из которых принадлежит каждому из множеств

Операции сложения и пересечения коммутативны и ассоциативны

 Разность множеств – множество, состоящее из элементов , не содержащихся в .

 Симметрическая разность – объединение двух разностей.

§ 2. Мощность множеств

2.1. Конечные и счетные множества

Среди множеств есть такие, в которых мы знаем количество элементов. Эти множества содержат конечное, хотя, может быть, и неизвестное нам число.

Простейшим бесконечным множеством является множество натуральных чисел.

Назовем счетным множеством всякое множество, элементы которого можно биективно сопоставить с натуральным рядом.

Бесконечное множество, не являющееся счетным, называется несчетным множеством.

Свойства счетных множеств.

1) Всякое подмножество счетного множества конечно или счетно.

2) Сумма любого конечного или счетного числа множества счетных множеств есть снова счетное множество

3) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

DEF Два множества  и  называются эквивалентными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию)

DEF Множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.

Ясно, что два множества, эквивалентны третьему, эквивалентны между собой. В частности, любые два счетных множества эквивалентны между собой.

2.2. Несчетные множества

Теорема 1. Множество действительных чисел, заключенных между нулем и единицей несчетно.

Приведем примеры несчетных множеств, эквивалентных отрезку

1) Множество всех точек любого отрезка  или интервала

2) Множество всех точек на прямой

3) Множество всех точек на плоскости

4) Множество всех непрерывных функций одного или нескольких переменных.

2.3. Мощность множества

Эквивалентные множества имеют одинаковую мощность.

Для конечных множеств мощность равна числу элементов множеств.

Мощность любого счетного множества равна мощности множества натуральных чисел.

Отрезок  и эквивалентные ему множества имеют мощность континуума. Обозначается .

Мощностей, промежуточных между счетным и континуумом нет.

Глава 2. Метрические, нормированные и гильбертовы пространства

§ 1. Метрические пространства.

Def: Метрическим пространством называется пара , состоящая из некоторого множества (пространства)  элементов (точек) и расстояния, т.е. однозначной неотрицательной действительной функции  и определенной для любых  и  из  и подчиненной трем аксиомам:

1) .

2)  (симметрия).

3)  (неравенство треугольника)

Обычно метрическое пространство обозначают .

1.2. Непрерывные отображения

Пусть  и  два метрических пространства и  - отображение пространства  в .

Def. Это отображение называется непрерывным в точке , если  

( -расстояние в ).

Если отображение непрерывно во всех точках пространства , то говорят, что  непрерывна на .

В случае если  и  числовые множества, то  - числовая функция, тогда мы имеем определение непрерывной функции из математического анализа.

Если отображение :  взаимно однозначно, то  обратное отображение .

Если  взаимно однозначно и взаимно непрерывно (т.е  и  непрерывны), то она называется гомеоморфным отображением является гомеоморфизмом.

В этом случае пространства  и  называется гомеоморфными между собой.

Если же  (одна функция для  и ), то гомеоморфизм называется изометрией, а пространства  и  называются изометричными.

Изометрия пространств  и  означает, что метрические связи между ними их элементами одни и те же, различной может быть природа элементов.

1.3. Предельные точки. Замыкание.

Введем некоторые понятия теории метрических пространств.

Открытый шар  - метрические пространства.

Аналогично Замкнутый шар -окрестности точки . Множество  ограничено, если .

Точка  называется предельной точкой множества , если любая ее окрестность содержит  много точек из .

Предельная точка может принадлежать, а может и не принадлежать .

Точка  называется изолированной точкой множества , если в достаточно малой окрестности  нет точек из , отличных от .

Операция замыкания представляет собой присоединение к всех ее предельных точек и обозначается .

1.4. Сходимость в метрических пространствах.

Пусть , ,… - последовательность точек в метрическом пространстве . Говорят, что  сходится к точке , если  такое, что  содержит все  с . Точка  называется пределом последовательности . Можно сформулировать иначе , если .

1.5. Сепарабельность

Пусть  и  - множества в метрическом пространстве .

Множество  называется плотным в , если .

Множество  называется всюду плотным (в пространстве ), если .

Пример: множество рациональных чисел всюду плотно на числовой прямой.

Множество  называется нигде не плотным, если оно не плотно ни в одном шаре, т.е. если в каждом шаре  содержится другой шар , такой что .

Пространства, в которых имеется счетное, всюду плотное подножество называются сепарабельными.

1.5. Открытые и замкнутые множества

Def. Множество  лежащее в метрическом пространстве  называется замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием , т.е  - замкнуто, если оно содержит все свои предельные точки.

Теорема 1. Пересечение любого числа и сумма (объединение) любого конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.

Def.  называется внутренней точкой , если существует такая окрестность точки   (целиком содержащаяся)

Def. Множество все точки которого внутренние, называется открытым.

Теорема 2. Для того, чтобы множество  было открыто, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение  (до всего пространства ) было замкнутым.

Следствие. Т.к.  и  являются дополнениями друг друга и замкнуты, то они являются и открытыми.

Из теоремы 1 и из принципа двойственности (пересечение дополнений равно дополнению объединений; объединение дополнений равно дополнению пересечения) следует

Теорема 3. Объединение любого и пересечение любого конечного числа открытых множеств есть открытое множество.

Def: Класс - подмножеств пространства  называется -алгеброй, если он замкнут относительно операций счетного объединения, пересечения, дополнения и содержит  в качестве элемента.

Def: Борелевской -алгеброй называется -алгебра, порожденная совокупностью всех открытых множеств из  (наименьшая -алгебра, содержащая все открытые множества).

1.6. Открытые и замкнутые множества на прямой.

Структура открытых и замкнутых множеств в том или ином метрическом пространстве может быть весьма сложной. Даже в .

Однако на прямой, описание всех открытых множеств (а значит и замкнутых) можно проделать теоремой.

Теорема. Всякое открытое множество на числовой прямой представляет собой объединение конечного и счетного числа попарно непересекающихся интервалов.

1.8. Полные метрические пространства

Def: Последовательность  называется фундаментальной, если .

Def: Последовательность  называется сходящейся (уже было) к , если .

Def: Если в метрическом пространстве  любая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого пространства), то оно называется полным.

1.9. Теорема о вложенных шарах и теорема Бэра.

В анализе широко используется лемма о вложенных отрезках. В теории метрических пространств аналогичную роль играет теорема.

Теорема о вложенных шарах.

Для того, чтобы метрическое пространство было полным, необходимо и достаточно, чтобы в нем всякая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к 0 имела непустое пересечение.

Теорема Бэра. Полное метрическое пространство  не может быть представлено в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств.

1.10. Пополнение метрического пространства

Если пространство  не полно, то его всегда можно включить (единственным образом) в полное метрическое пространство .

Теорема. Для любого метрического пространства  существует полное метрическое пространство такое, что

1)

2)

3)  всюду плотно в .

Пространство  называют пополнением пространства .

§ 2. Нормированные пространства.

2.1. Линейные пространства. Определение и примеры.

Def Непустое множество  называется линейным (или векторным) пространством, если в нем определены операции сложения и умножения на число, обладающие следующими свойствами , (действительное линейное ) (или )

1^о.  (коммутативность)

2^о.  (ассоциативность)

3^о.  (существование нуля)

4^о.  (существование противоположного элемента)

5^о.

6^о.

7^о.

8^о.

Примеры линейных пространств

1) ;        2)          3)                  4)

Def Элементы  называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не все равные 0, что    (1).

Def Бесконечная система элементов линейно независима, если любая ее конечная подсистема линейно независима.

Def Базисом в -мерном пространстве называется любая система из  линейно независимых векторов.

Def Если в  можно указать систему из произвольного числа линейно независимых элементов, то говорят, что - бесконечномерно.

2.2. Подпространства

Def Непустое множество  линейного пространства  называется подпространством, если оно само образует линейное пространство по отношению к операциям сложения и умножения на число, т.е, если .

Def Подпространство, 1) отличное от  и 2) содержащее хотя бы один ненулевой элемент, называется собственным.

2.3. Фактор- пространства (по подпространству).

Пусть  - некоторое пространство пространства . Разобьем  на классы смежности по подпространству , относя элементы  и  к одному классу, если .

Совокупность всех таких классов смежности мы назовем фактор-пространства  по  и обозначим .

При этом линейные операции в фактор-пространстве  определены следующим образом. Если  и  некоторые классы смежности ( , , а  и  некоторые элементы из , , , то классы смежности  и  определяются как классы, которым принадлежат  и , соответственно).

Т.е. каждое фактор-пространство  представляет собой линейное пространство.

Заметим, что если размерность , а размерность , то размерность .

2.4. Нормированные пространства. Определения и примеры

Def Отображение  линейного пространства  на луч  называется нормой, если  выполнено

1)

2)

3)  (неравенство треугольника)

Как правило, вместо  пишут . (Эта величина аналогична длине отрезка).

Def Линейное пространство с заданной нормой называется нормированным пространством.

Каждое нормированное пространство становится метрическим, если в нем ввести расстояние .

Def Полное нормированное пространство называется банаховым пространством.

§ 3. Гильбертово пространство.

3.1. Предгильбертово пространство.

Def Говорят, что в комплексном линейном пространстве  задано скалярное произведение, если каждой паре элементов  поставлено в соответствие комплексное число  так, что выполнены следующие аксиомы:

1) , причем

2)  (линейность)

3)  (эрмитовость).

Def Линейное пространство со скалярным произведением называется предгильбертовым.

Def Конечномерное вещественное предгильбертово пространство называют евклидовым, а комплексное – унитарным.

Предгильбертово пространство становится линейным нормированным, если в нем ввести норму

Для того, чтобы нормированное пространство было предгильбертовым, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество параллелограмма

.

3.2. Гильбертово пространство.

Поскольку предгильбертово пространство является линейным нормированным пространством, то в нем можно рассматривать понятие полноты по норме, определенной скалярным произведением.

Def Предгильбертово пространство, полное относительно нормы  называется гильбертовым пространством.

Теорема. Любые два сепарабельных гильбертовых пространства изоморфны между собой.

3.3. Подпространства гильбертова пространства, ортогональные дополнения.

Def Линейным многообразием в гильбертовом пространстве  назовем совокупность  элементов из , что если  и , то .

Def Замкнутое линейное многообразие называется подпространством.

Всякое подпространство гильбертова пространства либо является конечномерным евклидовым пространством либо евклидовым пространством.

Теорема. В каждом подпространстве  пространства  содержится ортогональная нормированная система , линейное замыкание которой совпадает с .

Пусть  - подпространство гильбертова пространства . Обозначим через  - множество элементов , ортогональных по всем элементам

Def Подпространство  называется ортогональным дополнением пространства .

Из предыдущей теоремы легко следует

Теорема. Если  - (замкнутое!) линейное подпространство пространства , то любой элемент  единственным образом представим в виде , где , .

Следствие 1. Ортогональное дополнение к ортогональному дополнению линейного пространства  совпадает с самим .

Следствие 2. каждая ортогональная нормированная система может быть расширена до системы, полной в .

Def Если каждый вектор  представим в виде , ,  (где  - ортогональное дополнение ), то говорят, что  есть прямая сумма взаимно ортогональных подпространств  и  и пишут .

Понятие прямой суммы может быть обобщено на любое конечное или даже счетное число подпространств.

Def говорят, что  есть прямая сумма своих подпространств

если

1) подпространства  попарно ортогональны, т.е. любой вектор из  ортогонален любому вектору из , при

2) каждый элемент  может быть представлен в виде

(*)

если число подпространств бесконечно,  - сходится.

Если такое представление (*) существует, то оно единственно и .

Глава 3. Принцип сжимающих отображений

§ 1. Принцип сжимающих отображений

Def Отображение  метрического пространства в себя называется сжимающим, если существует такое число , что

.

При этом точка  называется неподвижной точкой отображения , если .

Теорема (Принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение в полно метрическом пространстве имеет одну и только одну неподвижную точку.

Неподвижная точка  может быть найдена методом последовательных приближений

, где .

§ 2. Применение к интегральным уравнениям.

2.1. Уравнения Фредгольма.

Этот материал (интегральные уравнения) будет изучаться на IV курсе, но применять метод последовательных приближений к решению интегральных уравнений мы можем сейчас, на практике.

 решения неоднородного линейного интегрального уравнения Фредгольма второго рода, т.е. уравнения

(если слева 0,  - отсутствует, то 1 рода, если , то однородное)

где  - ядро, и  - данные функции, а  искомая функция.

Из принципа сжимающих отображений имеем, что для любого ,  уравнение имеет единственное непрерывное решение. Последовательные приближения к этому решению имеют вид

, , где в качестве  можно взять любую непрерывную функцию.

2.2. Уравнение Вольтерра.

Интегральное уравнение типа Вольтерра

(в отличие от Фредгольма верхний предел в интеграле переменный).

Можно считать его частным случаем уравнения Фредгольма, если доопределить  при . Но в отличие от Фредгольма, к уравнениям Вольтерра принцип сжимающих отображений (и метод последовательных приближений) применим при всех значениях , т.к. уравнение разрешимо при .

Глава 4. Компактность в метрических пространствах.

§ 1. Понятие компактности.

Фундаментальную роль в анализе играет следующий факт, известный под названием

Лемма Гейне-Бореля. Из любого покрытия отрезка  числовой прямой интервалами можно выбрать конечное подпокрытие.

Def Метрическое пространство  (топологическое) называется компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие.

Теорема. Замкнутое подмножество компактного пространства компактно.

Def Множество  из метрического пространства  называется предкомпактным, если его замыкание в  компактно.

§ 2. Компактность в метрических пространствах

2.1. Полная ограниченность.

Def Пусть  - некоторое множество в метрическом пространстве ;  - некоторое положительное число. Множество  из  называется -сетью для , если  такая, что . (Множество  не обязано содержаться в  и может даже не иметь с  ни одной общей точки).

Def Множество  называется вполне ограниченным, если для него при любом  существует конечная -сеть.

Заметим, что полная ограниченность есть необходимое условие компактности метрического пространства.

Однако имеет место следующая теорема.

Теорема 1. (Хаусдорфа) Для того, чтобы метрическое пространство  было компактным необходимо и достаточно, чтобы оно было:

1) вполне ограниченным

2) полным.

Следствие: Компактное пространство  сепарабельно [Л.С., с.53].

Укажем на связь между полной ограниченностью и предкомпактностью.

Теорема 2. Для того, чтобы множество  из полного метрического пространства  было предкомпактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограничено.

2.2. Теорема Арцела-Асколи.

Вопрос о компактности множества  из пространства  - распространенная задача. Теорему 1 из 2.1. применять сложно, поэтому для каждого пространства полезно дать специальные критерии компактности (или предкомпактности) более удобные на практике.

В  предкомпактность равносильна ограниченности.

В пространстве  критерий компактности имеет вид

Теорема Арцела-Асколи. Для того, чтобы множество  непрерывных функций, определенных на отрезке  было предкомпактно в , необходимо и достаточно, чтобы оно было:

1) равномерно ограничено

2) равностепенно непрерывно.

Def. Множество  функций  равномерно ограничено на , если , такое, что , для всех .

Def. Множество  функций  равностепенно непрерывно, если , такое, что как только  сразу .