Тема 2. Мера и интеграл Лебега.

Глава 1. Мера Лебега.

§ 1. Мера элементарных множеств.

Рассмотрим систему  множеств на плоскости , каждое из которых , определяется неравенствами ,  (знаки неравенств могут быть любыми, строгими, нестрогими)

Множества из системы будем называть прямоугольниками.

Для каждого из прямоугольников определим его меру:

а) мера пустого множества равна 0 (  или )

б) мера непустого прямоугольника (замкнутого, открытого или полуоткрытого) равна .

Таким образом, каждому прямоугольнику  поставлено в соответствие число  - его мера. При этом выполнены следующие условия

1)  действительна и неотрицательна

2)  аддитивна, т.е., если  и , то .

Мера  определена для прямоугольников, попробуем распространить меру на более широкий класс множеств с сохранением свойств 1 и 2.

Def Плоское множество называется элементарным, если его можно представить в виде объединения конечного числа попарно непересекающихся прямоугольников.

Теорема 1. Объединение, пересечение, разность и симметрическая разность двух элементарных множеств также являются элементарными множествами, т.е. элементарные множества образуют кольцо.

Def Определим меру  для элементарных множеств следующим образом: если , где -попарно непересекающиеся прямоугольники, то . Причем  не зависит от способа разложения в сумму конечного числа прямоугольников.

Теорема 2. Если  - элементарное множество и  конечная или счетная система элементарных множеств, такая, что , то .

Свойство меры , устанавливаемое теоремой 2 (мера множества не превосходит суммы мер, покрывающих его множеств) называется полуаддитивностью.

Из него вытекает свойство счетной аддитивности или - аддитивности, состоящее в следующем

Если  (  представлена в виде объединения счетного числа пересекающихся элементов множеств, то ).

§ 2. Лебегова мера плоских множеств.

2.1. Внешняя мера множеств.

Элементарные множества не исчерпывают всех множеств, встречающихся в анализе.

Def Внешней мерой множества  называется число , где нижняя грань берется по всевозможным покрытиям множества  конечными или счетными системами прямоугольников.

Теорема. Если , где  - конечная или счетная система множеств  и  совпадают (замечание 1), то теорема 2 (§ 1) является частным случаем данной теоремы.

2.2. Измеримые множества.

Def: Множество  называется измеримым (в смысле Лебега), если  найдется такое элементарное множество , что .

Def: Функция  рассматриваемая только на измеримых множествах называется лебеговой мерой и обозначается .

Теорема 1. Сумма (объединение) и пересечение измеримых множеств есть измеримые множества.

Теорема 2. Если  - последовательность попарно непересекающихся измеримых множеств и , то .

Теорема 2 устанавливает счетную аддитивность или - аддитивность меры Лебега.

Из - аддитивности вытекает еще одно свойство меры, называемое непрерывностью.

Теорема 3 . если  - последовательность вложенных в друг друга измеримых множеств и , то .

2.3. Лебегова мера на прямой.

В этом параграфе излагалось построение меры Лебега для плоских множеств. Аналогично может быть построена Лебегова мера на прямой, в трехмерном пространстве или, вообще, в евклидовом пространстве любой размерности . В каждом из этих случаев мера строится по одному и тому же образцу.

Например на прямой. Определяем меру на простейших множествах: отрезки, интервалы, полуинтервалы: , , ,

.

§ 3. Лебегово продолжение меры.

3.1. Счетная аддитивность меры.

Плоская мера Лебега, построенная нами в §2 -аддитивна (теорема 2 из п.2.2.)

Def: Мера  называется счетно-аддитивной, или -аддитивной, если для любых множеств , принадлежащих ее области определения (области определения меры) и удовлетворяющих условиям ,  имеет место равенство

.

Лебегово продолжение меры.

Def: Непустая система множеств  называется кольцом, если из .

Def Система множеств  называется полукольцом, если 1^о из .

2^о. Если  и , то  можно представить в виде , где -заданное и все .

Кроме того, предполагаем, что  (  т.к. ).

Задача о продолжении меры состоит в следующем. Каким образом, зная меру на узком классе множеств продолжить ее на более широкий класс множеств с сохранением свойств меры.

Def Мера  называется полной, если из  и  вытекает, что  измеримо.

Глава 2. Измеримые функции

§ 1. Измеримые функции

11. Определение и основные свойства

Def Действительная функция  называется измеримой, если при любом действительном  множество  измеримо.

Теорема 1. Сумма, разность и произведение двух измеримых функций измеримы. Частное двух измеримых функций при условии, что знаменатель не обращается в нуль, тоже измеримо.

Теорема 2. предел сходящейся при каждом  последовательности измеримых функций измерим.

1.2. Эквивалентные функции.

При изучении измеримых функций часто можно пренебречь их значениями на множестве меры нуль.

Def Две функции  и , заданные на одном и том же множестве  называются эквивалентными (обозначение ), если .

Введем еще одно понятие

Def Говорят, что некоторое свойство выполнено почти всюду на , если оно выполнено на  всюду, кроме, быть может, точек, образующих множество меры нуль.

Теорема. Пусть функции  и  определены на некотором измеримом множестве . Если функция  измерима и  эквивалентна  ( ), то  тоже измеримая функция.

§ 2. Сходимость почти всюду

2.1. Определение сходимости почти всюду.

Def Последовательность  функций, определенных на некотором пространстве  с заданной на нем мерой , называется сходящейся почти всюду к функции , если  для почти всех , т.е. .

Теорема 1. Если последовательность измеримых функций  сходится к функции  почти всюду на , то  также измерима.

2.2. Теорема Егорова.

Теорема Егорова устанавливает связь между сходимостью почти всюду и равномерной сходимостью.

Теорема Егорова

Пусть  - множество конечной меры. Последовательность измеримых функций  сходится на  почти всюду к . Тогда  такое измеримое множество , что

1)

2) на  (равномерно)

На множестве конечной меры сходимость почти всюду влечет за собой почти равномерную сходимость.

§ 3. Сходимость по мере

3.1. Определение сходимости по мере.

Def Говорят, что последовательность измеримых функций  сходится по мере к функции , если для любого

.

Обозначают .

Следующая теорема устанавливает единственность предела по мере.

Теорема

Если  и , то  (по мере )

3.2 Связь между сходимостью почти всюду и по мере.

Следующие две теоремы устанавливают связь между понятиями сходимости почти всюду и равномерной сходимости по мере.

Теорема 1 (Лебега). Если последовательность измеримых функций  сходится почти всюду к некоторой функции , то она сходится к ней по мере.

Однако в обратную сторону теорема не верна. Однако справедлива следующая теорема

Теорема 2 (Рисса)

Пусть последовательность измеримых функций  сходится по мере к . Тогда из этой последовательности можно выбрать подпоследовательность , сходящуюся к  почти всюду.

.

3.3. Теорема Лузина и С-свойство

Мы определяли измеримые функции на произвольных множествах м в общем случае это понятие никак не связано с понятием непрерывной функции.

Теорема (Лузина)

Для того, чтобы функция , заданная на отрезке , была измерима, необходимо и достаточно, чтобы  такая непрерывная на  функция , что .

Глава 3. Интеграл Лебега.

§ 1. Интеграл Лебега для простых функций.

1.1. Отличие от интеграла Римана.

Понятие интеграла Римана можно применить или к непрерывным функциям или имеющим лишь конечное число точек разрыва.

Для измеримых функций, которые могут быть разрывны всюду, где они определены (а могут быть заданы на абстрактном множестве, где понятие непрерывности не имеет смысла), конструкция интеграла Римана не годится.

Для таких функций Лебег ввел другое понятие интеграла.

Если в интегральных суммах Римана точки  группируются по признаку близости их на оси , то в интеграле Лебега они группируются по признаку близости значений функции в этих точках. Это сразу позволяет распространить понятие интеграла на очень широкий класс функций.

Кроме того, интеграл Римана вводится сначала для функций одной переменной, а затем уже переносится на случай нескольких переменных.

Интеграл Лебега определяется совершенно одинаково для функций, заданных на любых пространствах с мерой.

Заметим, что на абстрактных пространствах интеграл Римана вообще не имеет смысла.

Сначала определим интеграл Лебега для простых функций, а затем распространим на более широкий класс функций.

1.2. Простые функции

Def Простой называется измеримая функция, принимающая не более чем счетное число значений.

Теорема 1. Функция , принимающая не более чем счетное число значений  измерима тогда и только тогда, когда все множества  измеримы.

Теорема 2. Для измеримости функции  необходимо и достаточно, чтобы она могла быть представлена в виде предела равномерно сходящейся последовательности простых функций.

1.3. Интеграл Лебега от простых функций.

Пусть  некоторая простая функция, принимающая значения  и пусть  некоторое измеримое подмножество .

Определим интеграл от функции  по множеству  равенством

(1)              , где  если ряд справа сходится.

Def Простая функция  называется интегрируемой или суммируемой (по мере ) на множестве , если ряд (1) абсолютно сходится.

Если  интегрируема, то сумма ряда (1) называется интегралом от  по множеству .

1.4. Свойства интеграла Лебега от простых функций.

Установим некоторые свойства интеграла Лебега от простых функций.

1^о

2^о

3^о Ограниченная на множестве  простая функция  интегрируема на , причем, если  на , то .

§ 2. Общее определение интеграла Лебега.

2.1. Определение суммируемой функции.

Def Функция  называется суммируемой (интегрируемой) на множестве , если существует последовательность простых интегрируемых функций , сходящихся равномерно к .

Предел  обозначим  и назовем интегралом функции  по множеству .

Таким образом, построение интеграла Лебега разбивается на два этапа.

Первый: непосредственное определение интеграла как суммы ряда для класса простых суммируемых функций, достаточно простого.

Второй: Распространение определения интеграла на более широкий класс с помощью предельного перехода.

Заметим, что сочетание двух этапов, подобных этим, присутствует при любом построении интеграла.

2.2. Свойства интеграла Лебега.

1^о.  следует непосредственно из определения интеграла от простой функции (как сумма)

2^о  причем из существования интеграла справа следует существования интеграла слева.

3^о Аддитивность .

причем из существования интегралов справа следует существования интеграла слева.

4^о Ограниченная на множестве  функция  интегрируема на

5^о  Монотонность: если  на , то .

Для простых функций следует из определения интеграла, а в общем случае с помощью предельного перехода.

5^оо Из 5^о следует: если  на , то

5^оо Если  для всех или почти всех , то .

6^о  Если , то . Следует из определения интеграла.

6^оо  Если , то . Следует из определения интеграла.

7^о Если функция  интегрируема на  и почти всюду , то  также интегрируема на .

8^о Интегралы  и  существуют или не существуют одновременно.

2.3. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега.

Свойство 6^о  из предыдущего пункта говорит, что интеграл Лебега по ножеству нулевой меры равен нулю для любой функции .

Теорема. Пусть  интегрируема на . Тогда  такое, что для всякого измеримого  такого, что  следует .

§ 3.Предельный переход под знаком интеграла.

Вопрос о предельный переход под знаком интеграла, или, что то же самое, о почленном интегрировании сходящегося ряда, часто возникает в различных задачах.

В мат.анализе устанавливается, что достаточным условием такого предельного перехода является равномерная сходимость соответствующего ряда или последовательности.

Так как интеграл Лебега является обобщением интеграла Римана, то и следующие теоремы являются обобщением приведенного факта.

3.1. Теорема Лебега

Теорема (Лебега об ограниченной сходимости).

Пусть последовательность  суммируемых функций 1) сходится по мере к функции  и 2)  такая суммируемая функция , что

Тогда функция  суммируема и

Здесь  называется суммируемой мапсорантой последовательности .

3.2. Теорема Бенно Леви

Теорема. Пусть на множестве . Причем функции  интегрируемы и их интегралы ограничены в совокупности

.

Тогда почти всюду на  существует конечный предел , и функция  интегрируема на , причем .

При этом на множестве, на котором предел  не существует, функцию  можно задать произвольно. Например, нулем .

Следствие (Для ряда) если  и , то почти всюду на  ряд  сходится и .

3.3 Теорема Фату.

Теорема. Если последовательность неотрицательных измеримых  сходится почти всюду на  к , то .

§ 4. Сравнение интегралов Лебега и Римана.

Для простоты изложения рассмотрим связь между интегралами в одномерном случае.

4.1. Сравнение интегралов по отрезку.

Теорема. Если функция  интегрируема по Риману, то она интегрируема и по Лебегу и

.

В обратную сторону теорема не верна. Например, функция Дирихле  на  интегрируема по Лебегу, но не интегрируема По Риману.

4.2. Случай неограниченной функции.

Неограниченные функции вообще не могут быть интегрируемы по Риману, но многие из них интегрируемы по Лебегу.

Вначале определим интеграл Лебега от неограниченной неотрицательной измеримой функции  на множестве .

Построим вспомогательную функцию

Эта функция измерима и ограничена (числами). Теперь интеграл Лебега определяется как .

Указанный предел всегда существует. Если он конечен, функцию называют суммируемой на , если бесконечен – то не суммируемой.

Теперь определим интеграл от знакопеременной неограниченной измеримой функции  на  с помощью равенства

, где

Def Функция  называется суммируемой, если  и  суммируемы, функция несуммируема, если хотя бы одна из неотрицательных функций  и  несуммируема.

Из последнего определения легко вывести теорему

Теорема 1. Для суммируемости измеримой функции необходимо и достаточно, чтобы была суммируема функция .

(Действительно, ведь )

Из этой теоремы выводится следующая.

Теорема 2. Для абсолютной сходимости несобственного интеграла Римана необходимо и достаточно, чтобы  была суммируема, и тогда выполнено равенство

.

Кроме того, справедливо равенство

.

Следствие. Таким образом, из условной сходимости несобственного интеграла  следует несуммируемость функции

4.3. Случай неограниченного промежутка.

Заметим, что в этом случае справедлив аналог теоремы 2 из предыдущего пункта.

Теорема. Для абсолютной сходимости несобственного интеграла  необходимо и достаточно, чтобы  была суммируема на . При этом выполнено равенство

.

Заметим, что кроме того, справедливо равенство .

§ 5. Пространства суммируемых функций.

Один из важнейших классов нормированных пространств составляют пространства суммируемых функций, в первую очередь пространство всех суммируемых функций  и пространство  функций, суммируемых с квадратом.

5.1. Пространство .

Пусть  некоторое пространство с мерой , будем считать меру  полной (т.е. любое подмножество любого множества меру нуль измеримо). Рассмотрим совокупность всех функций , суммируемых на . Поскольку линейная комбинация суммируемых функций суммируема, то эта совокупность образует линейное пространство. Это пространство мы обозначим  или, короче, просто .

Введем в  норму . Легко проверить, что  удовлетворяет всем условиям нормы, за исключением одного, что .

Чтобы устранить эти расхождения элементами пространства  будем считать классы эквивалентных между собой суммируемых функций. (Иначе такой функционал называется полунормой).

В , как и во всяком нормированном пространстве, с помощью формулы  вводится расстояние. Сходимость последовательности суммируемых функций в смысле этого расстояния называют сходимостью в среднем.

Весьма важным для многих вопросов тот факт, что пространство  полно, т.е. любая фундаментальная последовательность сходится.

Мера, имеющая счетный базис, называется сепарабельной мерой.

Теорема. Если мера  - сепарабельная мера на измеримом пространстве , то пространство  сепарабельно.

В частном случае, когда  - отрезок числовой прямой, а  - мера Лебега, счетное всюду плотное множество в  можно получить, взяв множество всех многочленов с рациональными коэффициентами.

Вывод. Пространство  представляет собой полное нормированное (т.е. банахово) линейное пространство. Однако оно не является гильбертовым, т.к. определенную в нем норму нельзя задать с помощью скалярного произведения. А именно, не выполнено равенство параллелограмма  например для функций  и  на .

5.2. Пространство .

Определение. Функция  называется функцией, суммируемой с квадратом, если  (конечен, существует).

Совокупность всех таких функций мы обозначим  или .

Заметим, что, как и в случае ;  - линейное пространство, полное, сепарабельное.

В отличие от  в  вводится скалярное произведение

.

Поэтому  - гильбертово пространство.

Норма в  определяется формулой , а расстояние между элементами  и .

Сходимость функциональной последовательности по метрике пространства  называется сходимостью в среднем квадратичном.

Теорема .Из сходимости в среднем квадратичном следует сходимость в среднем

Замечание. Обратная теорема не верна.

5.3. Соотношения между различными видами сходимости.

5.4. Пространство

По аналогии с пространством .

Def Измеримая функция  называется суммируемой с р-й степенью, если  здесь .

Совокупность всех таких функций обозначается  или .

Теорема. Пространство  при любом  линейно, полно.

Введем норму в .

Теперь  полное нормированное, т.е. банахово пространство.

Пространство  сепарабельно, если мера  на  сепарабельна.