Фрактальность и критерии фрактальности. Фрактальные структуры (регулярные фракталы, фрактальные кластеры)

Фрактал - бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.

Мультифрактал - сложная фрактальная структура, которая получается с помощью нескольких последовательно сменяющих друг другу алгоритмов.

Для описания фрактала требуется всего три параметра фрактальная размерность D, размеры первичного блока (R_тin) и объекта в целом.

Фрактальная размерность позволяет количественно описывать различные структуры, отличающиеся высокой сложностью, содержащие большое количество точечных, линейных, поверхностных и объемных дефектов.

Регулярный фрактал - фрактал для которого характерное точное самоподобие, а это идеальная модель, т.к. всегда принимается определенное отступление.

Фрактальный кластер - хаотичный фрактал.

Фрактальность дефектов структуры материалов

Новые представления о форме реальных объектов природы, о структурах в биологии и материаловедении основаны на понятии фракталов, которое впервые сформулировал Б. Мандельброт. Он ввел понятие не только фрактала, но и фрактальной геометрии, отличающейся от евклидовой дробными размерностями, и обратил внимание на то, что контуры, поверхности и объемы окружающих нас предметов не так ровны, гладки и совершенны, как принято думать. В действительности, при тщательном рассмотрении оказывается, что они неровны, шершавы, изъязвлены множеством отверстий самой при­чудливой формы, пронизаны трещинами и порами, покрыты сетью мор­щин, царапин и т. д.

Для количественной оценки этих отклонений от идеальности (извилистости контура, морщинистости поверхности, трещиноватости и пористости объема) Б. Мандельброт применит дробные размерности. Эта новая количественная оценка, дробная размерность Хаусдорфа—Безековича применительно к идеальным объектам классической евклидовой гео­метрии давала те же численные значения, что и известная топологичес­кая размерность (равна нулю для точки, единице - для плавной линии, двум - для фигуры и поверхности, трем — для тела и пространства) (см строку топологии на рис.«Элементы реальной структуры материалов»).

Но в случае оценки морфологии реальных структур новая размерность обладала более тонкой чувствительностью ко всякого рода несовершенствам реальных объектов. Так, отрезок прямой, отрезок синусоиды и самый сложный меандр неразличимы при использовании топологической размерности - все они имеют топо­логическую размерность, равную единице, тогда как их размерность по масштабной шкале Хаусдорфа— Безековича различна и позволяет числом измерять степень извилисто­сти линии.

Размерность Хаусдорфа-Безековича увеличивается по мере возрастания извилистости линии или шероховатости поверхности. Это изменение размерности не сопровождается скачками, как в топологии, а плавно меня­ет свое значение по мере возрастания дефектности.

Итак, на стыке математики и физики при изучении поведения сложных динамических систем получили свое новое рождение фракталы — объекты с дробной (фрактальной) размерностью.

Многие природные фракталы (поверхности разлома горных пород и металлов, облака, турбулентные потоки, пена, гели, частицы сажи и т. д.) лишены явного геометрического подобия, но упорно воспроизводят в каждом фрагменте статистические свойства целого. Такое статистическое подобие, или самоподобие в среднем, выделяет фракталы среди множества природных объектов.

Реальная снежинка (шесть видов) представляет собой дендритный кристалл льда. Это типичный самоподобный фрактал, возникающий при первичной кристаллизации всех металлов и сплавов.

Описания снежинки с помощью фрактальной геометрии потребуются всего лишь три параметра: фрактальная размерность D, размеры первичного блока (R_тin) и снежинки в целом (R_mах). Фрактальная размерность компьютерной и реальной снежинки одинакова (D = 1,71).