Таким образом, коэффициент корреляции показывает близость связи между двумя СВ к линейной.

Сила корреляционной связи в зависимости от значения коэффициента корреляции r_xy:

• сильная: ±0,7 до ±1
• средняя: ±0,3 до ±0,699
• слабая: 0 до ±0,299

Оценка коэффициента корреляции случайных величин на основе

экспериментальных данных

Пусть x i {\displaystyle x_{i}}X_i и  Y_i– i-й элемент выборки СВ X и Y соответственно; n {\displaystyle n} – объём выборки.

Оценка коэффициента корреляции определяется формулой:

2. Парная корреляция между набором величин. Корреляционная матрица

Для представления коэффициента корреляции нескольких случайных величин А, В, С, D и т.д. удобно использовать корреляционную таблицу:

Замечания:

1. На главной диагонали корреляционной матрицы стоят 1, r_AA=r_ВВ= r_СС=... =1 так как, по сути, это коэффициент корреляции между двумя линейно связанными величинами с коэффициентом пропорциональности 1.

2. Коэффициент корреляции не меняется от перестановки порядка переменных, т.е. r_AB = r_BA, таким образом, корреляционная таблица симметрична относительно главной диагонали, и ее нижнюю часть можно не заполнять.

3. Оценка точности регрессионной модели

Рассмотрим линейную парную корреляционную модель вида:

y=b₀+b₁x.   (1)

Параметры модели b₀ и b₁ определяются с помощью метода наименьших квадратов на основе экспериментальных данных:

< _(i), y_(i)>,  (2)

где i=1, 2,... N,

как это было рассмотрено ранее.  

Требуется оценить как близко экспериментальные точки (2) лежат возле прямой (1).

Как известно близость к связи к жесткой линейной показывает коэффициент корреляции, который для линейной зависимости принимает значения +1 или -1.

Для решения задачи используется коэффициент детерминации, который принимает значения от 0 до +1 и численно равен квадрату коэффициента корреляции:

R²=r_xy².

Если связь жесткая линейная и все экспериментальные точки (2) лежат на прямой (1) коэффициент детерминации R²=1.           

4. Корреляционный анализ в электронных таблицах

Корреляционный анализ в  MS Excel:

1. Нахождение коэффициента корреляции

Коэффициент корреляции: =КОРРЕЛ(диапазон 1;диапазон 2)

2. Расчет корреляционной матрицы средствами MS Excel

Функция Корреляция надстройки Анализ данных.

Меню данной функции имеет вид:

Необходимо ввести:

1. Диапазон клеток, в котором находятся входные данные для определения корреляции.

2. Выбрать, как сгруппированы векторы, между которыми ищется корреляция - по столбцам или строка.

3. Обозначит, являются ли первые строки (столбцы - в зависимости от способа группирования) выбранных данных заголовками (метками).

4. Место для вывода результатов.

Корреляционный анализ в LibreOffice Calc

1. Нахождение коэффициента корреляции

Коэффициент корреляции: =KORREL(диапазон 1;диапазон 2)

2. Расчет корреляционной матрицы:

Данные - Статистика - Корреляция

ГЛАВА 5. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Имитационное моделирование (метод Монте-Карло) – метод моделирования, позволяющий учесть неопределенность вероятностного характера в данных или параметрах и состоящий в генерации соответствующих случайных чисел, проведении необходимых вычислений со случайными числами и статистической оценки результата.

Один из возможных вариантов постановки задачи: необходимо оценить значение некоторой переменной Q, которая зависит от ряда параметров a₁, a₂, ... a_n:  . Точные значения параметров a₁, a₂, ... a_n не известны, а лишь заданы их законы распределения. В частности, для переменной Q нужно найти оценку закона распределения, а также определить вероятности, что она принимает значения больше некоторого заданного числа, меньше заданного числа, а также лежит в заданном диапазоне.

Для пояснения рассмотрим следующий пример: пусть на протяжении трех лет будет реализован инвестиционный проект, точное значение прибыли по годам не известно, но можно предположить, что за первый год она будет лежать в диапазоне от 0 до 1 млрд. руб., за второй год - от 1 млрд. руб. до 2 млрд. руб. и за третий год - от 2 млрд. руб. до 3 млрд. руб.

Необходимо построить закон распределения суммарной прибыли за три года, а также оценить вероятность, что суммарная прибыль превысит 5 млрд. руб.

Рассмотрим решение задачи с помощью табличного процессора MS EXCEL.

В столбцах А, В и С сгенерируем случайные числа имитирующие прибыль за первый, второй и третий годы соответственно. Для этого воспользуемся надстройкой "Анализ данных" - "Генерация случайных чисел".

На рисунке показана генерация случайных чисел для столбов А, В и С соответственно.

Отметим, что в каждом из столбцов генерируется по 1000 случайных чисел.

В столбце D поместим суммарную прибыль, которую определим как сумму случайных чисел из первых трех столбцов.

Воспользовавшись автозаполнением рассчитаем суммарную прибыль для всех 1000 вариантов.

Вероятность, что суммарная прибыль превысит 5 млрд. руб. можно оценить следующим образом: подсчитать число вариантов, в которых суммарная прибыль превысила 5 млрд. руб. – m и поделить это число на общее число вариантов N=1000, т.е. p=m/N= m/1000.

Для подсчета m воспользуемся функцией "СЧЁТЕСЛИ".

Далее несложно определить, что искомая вероятность приблизительно составляет 0,18.

Построим гистограмму суммарной прибыли (см. файл алгоритм построения гистограммы), с помощью которой наглядно изображаются оценки вероятностей попадания случайной величины на тот или иной интервал.

Отметим, что оценить вероятность, что суммарная прибыль превысит 5 млрд. руб. можно и с помощью гистограммы, для этого необходимо просуммировать число попаданий в карманы больше 5 и поделить на общее число случайных чисел: (99+62+17+1)/1000 ~ 0,18.

Замечание. В рассматриваемом примере число испытаний выбрано равным 1000. Следует отметить, что чем больше число испытаний, тем выше точность имитационного моделирования, в тоже время при этом растет объем вычислений. Рекомендуется брать число испытаний не менее 1000, а еще лучше не менее 10 000.