Авторегрессионная модель и авторегрессионный фильтр

В АР-модели временного ряда текущее значение ряда х(n) представляется линейной функцией предыдущих значений плюс ошибка е(n):

.

Это уравнение содержит р предыдущих членов и представляет модель порядка р. Его можно записать в более компактной форме:

,

где – оператор запаздывания, которым обозначена задержка на к интервалов выборки. Далее перепишем предыдущее уравнение:

,

отсюда

.

Рис. 6. АР-фильтр

Выражая отношение х(n)/е(n), получаем

.

Здесь  интерпретируется как z-преобразование цифрового БИХ-фильтра с одними полюсами, который имеет коэффициенты а(к). Подобный фильтр называется авторегрессионным. Из уравнения  можно рассматривать как выходы данного фильтра, порожденные случайными входами . Величина представляет ошибку между значением, предсказанным моделью, и истинным значением выборки . Как правило, предполагается, что имеет свойства белого шума, т.е. гауссово распределение плотности вероятностей и равномерный спектр плотности мощности. Следовательно, можно считать, что генерируется АР-фильтром, на входе которого – источник белого шума. Частотная характеристика фильтра H(f) получается подстановкой , где ω– угловая частота, а Т – период дискретизации. Следовательно,

.

Спектральная плотность мощности авторегрессионного ряда

Требуется найти спектральную плотность мощности АР-ряда . Данная величина связана со спектральной плотностью мощности сигнала белого шума , равной ее дисперсии :

.

Дисперсия белого шума равна ее среднеквадратическому значению, которое, в свою очередь равно квадрату среднего значения , а эту величину мы обозначили через E. Итак, значение (или Е) можно выразить через параметры модели, а поскольку параметры модели определить можно, то спектральная плотность мощности также находится.

Порядок модели

Порядок авторегрессионной модели, которая наилучшим образом аппроксимирует данные, нужно выбирать аккуратно для каждого набора данных, поскольку порядок зависит от статистических свойств данных. Данный момент можно проиллюстрировать на данных ЭЭГ (электроэнцефалограммы), где различные сегменты данных требуют моделей различных порядков. Модели низкого порядка предпочтительнее, поскольку нужно подбирать меньше параметров. Впрочем, если порядок слишком низок, оценка спектра будет слишком сглаженной. С другой стороны, слишком высокий порядок приведет к появлению ложных максимумов и спектральной неустойчивости. Для оценки порядка Экейком (Akaike) было предложено два параметра. Первый – это ошибка окончательного предсказания (Final Prediction Error – FPE), которая определяется следующим образом:

.

Второй параметр – это информационный критерий Экейка (Akaike Information Criterion), который определяется так:

Параметр АIС(р) применяется для небольших наборов данных, тогда как FPE(p) рекомендуется использовать для более крупных наборов. На практике обычно пытаются так выбрать р, чтобы одновременно минимизировать FPE(p) и АIС(р).

Сравнение методов оценки

Из непараметрических методов наибольшую добротность имеет метод Блэкмена-Тьюки, следовательно, он наиболее предпочтителен, хотя для удобства может выбираться и другой метод.

Существуют несколько параметрических методов оценки спектра (Юла-Уолкера, Бурга, ковариационный и др.), познакомиться с теоретическими сведениями о некоторых из них можно в [1, 2]. Параметрические методы предлагают большее разрешение по частоте и не требуют использования весовых функций. В большинстве случаев можно использовать метод Бурга Для нестационарных данных лучше всего подходят методы адаптивной фильтрации, делающие акцент на наиболее свежих данных.