Взвешивание. Свойства весовых функций

Ширина полосы шумового (прямоугольного) эквивалента. Ранее было показано, что из-за явления просачивания спектральных составляющих импульсные характеристики, которые теоретически представляют спектральные плотности амплитуд, становятся выборочными функциями. Таким образом, бесконечно узкие спектральные компоненты замещаются дискретизующими функциями с более широкими полосами. Боковые лепестки этих функций, смещающие компоненты сигнала, можно рассматривать как источники нежелательного шума, а весовую частотную функцию можно считать характеристикой широкополосного фильтра. Следовательно, с такой точки зрения желательно разработать весовую функцию с малой шумовой полосой, уменьшив амплитуды боковых лепестков. Шумовая полоса вводится с целью сравнения различных весовых функций по ширине полосы шумового эквивалента. Данная величина определяется как ширина полосы идеального прямоугольного фильтра, который пропускает тот же объем белого шума, что и рассматриваемый спектральный фильтр (см. рис. 3) (поэтому данную величину называют еще шириной полосы прямоугольного эквивалента). Данное определение позволяет оценивать характеристики боковых лепестков различных функций путем сравнения их шумовых эквивалентов. Ширина полосы шумового эквивалента – очень важный параметр функции, чем он меньше, чем лучше весовая функция.

Рис. 3. Ширина полосы шумового эквивалента

Ширина полосы шумового эквивалента выражается следующим образом:

.

Корреляция перекрывающихся сегментов. При взвешивании данных начало и конец последовательности данных выходят на нуль, и этот эффект представляет потерю информации. В частности, можно пропустить краткие события, происходящие в области спада характеристики. Для того чтобы решить данную проблему, следует разбить последовательность данных на перекрывающиеся сегменты, взвесить и преобразовать каждый сегмент отдельно. Если перекрытие составляет порядка 50-75%, то в сегментах будет отражено большинство особенностей данных. Затем получающиеся спектры усредняются и дают оценку истинного спектра. Разбиение данных иллюстрируется на рис.4. Данная процедура называется обработкой с избыточностью, или перекрытием. Обычно обработка с перекрытием 50-75% позволяет на 90% использовать потенциал большинства весовых функций, связанный с улучшением производительности. Кроме того, при усреднении спектров сегментов снижается дисперсия спектра. Для К статистически идентичных, но независимых измерений дисперсия среднего составляет 1/К дисперсии отдельных спектров. В то же время, сказанное не относится к случаю, когда усредняются спектры перекрывающихся сегментов, поскольку между сегментами существует корреляция. Можно показать, что, например, усреднение четырех спектров снижает дисперсию до уровня 25% от величины исходного спектра. Итак, описанный подход позволяет значительно улучшить оценку спектра.

Выигрыш от обработки. Выигрыш от обработки определяется делением отношения сигнал-шум на выходе процесса взвешивания на отношение сигнал-шум на входе:

,

Рис. 4. Разбиение данных перед обработкой с избыточностью

Выигрыш от обработки зависит от формы весовой функции, поскольку она определяет ширину полосы ее шумового эквивалента (см. предыдущий раздел). Спад вырезающей функции до нуля уменьшает мощность сигнала, приводя к потерям при обработке, тогда как за счет боковых лепестков улучшается ширина полосы шумового эквивалента.

Потери при обработке в наихудшем случае. Потери при обработке в наихудшем случае определяются как сумма (в децибелах) максимального гребешкового искажения весовой функции и потерь при ее обработке. Эта величина представляет уменьшение выходного отношения сигнал-шум, вызванное взвешиванием и наихудшим (наиболее неудачным) расположением частот. Она всегда составляет от 3,0 до 4,3 дБ. Функций, для которых этот параметр составляет более 3,8 дБ, следует избегать. Это относится к прямоугольной функции, функции Пуассона (а = 4), функции Хэмминга-Пуассона (а = 2,0), функции Коши и минимальной четырехточечной функции Блэкмена-Харриса.

Ширина полосы минимального разрешения. Обычно при перекрытии двух идентичных спектральных максимумов их можно разрешить, если точки по уровню 3 дБ не перекрываются (рис.5, а). В то же время, при рассмотрении ДПФ-компонента соседние спектральные составляющие множатся на весовую функцию, а затем когерентно суммируются, т.е. боковые лепестки включаются в сумму. В этом случае усиление каждого компонента в области перекрытия не должно превышать 0,5. Это означает, что спектральное разрешение определяется шириной полосы по уровню 6 дБ, а не шириной полосы по уровню 3 дБ (рис. 5, б).

Рис.5. Ширина полосы минимального разрешения:

а) разрешение спектральных максимумов определяется ширинами полос по уровню 3 дБ;

 б) спектральное разрешение максимумов ДПФ определяется ширинами полос по уровню 6 дБ

Смещающий эффект весовых функций. Умножение данных на весовую функцию, выходящую по краям на нуль, уменьшает амплитуду выборок в местах спада, а следовательно, общую мощность сигнала. Можно показать, что все частотные составляющие в равной степени подвержены влиянию весовой функции, и что коэффициент изменения данных пропорционален корню квадратному из коэффициента когерентного усиления мощности, который представляет нормированную мощность данных при рассмотрении как сигнала напряжения. Следовательно, снижение мощности сигнала можно компенсировать без искажения спектра плотности мощности. Весовая функция также выравнивает средний уровень данных, увеличивая таким образом полную энергию низкочастотных компонентов спектра. Данный эффект нужно каким-то образом компенсировать, но прямое вычитание среднего взвешенных данных приводит к более явному проявлению высокочастотных боковых лепестков.

Выбор весовой функции. Спад многих весовых функций и их форму во многих случаях можно регулировать, выбирая значение параметра функции α. Это позволяет варьировать ширину основного лепестка и уровень боковых лепестков. Частью искусства взвешивания является выбор методом проб и ошибок значения α, оптимизирующего результаты в конкретной ситуации.