Методы модифицированных периодограмм

Метод Уэлша. Преимущество метода Уэлша по сравнению с методом Барлетта заключается в дальнейшем уменьшении спектральной плотности мощности. В то же время, это улучшение происходит за счет добавочного уменьшения спектрального разрешения. В методе Уэлша L сегментов данных длины М перекрываются и периодограммы вычисляются по L взвешенным сегментам. Далее периодограммы нормируются на величину U, чтобы компенсировать потери энергии сигнала вследствие процедуры взвешивания. Фактически U приравнивается , где к₂ – коэффициент описывающий эффект смещения весовых функций. Следовательно,

.

Таким образом, оценка Уэлша спектральной плотности мощности записывается следующим образом:

.

Математическое ожидание оценки Уэлша:

т.е. оно равно математическому ожиданию модифицированной периодограммы. Можно показать, что при и значения сходятся к истинной спектральной плотности мощности  Итак, для больших N и М оценка Уэлша спектральной плотности мощности несмещенная. При определенных условиях дисперсия оценок Уэлша сходится к нулю, т.е. оценки состоятельны. Уэлш также показал, что при отсутствии наложения сегментов (L = K)

,

что равно дисперсии оценки Бартлетта при тех же условиях. При 50%-ном наложении (L = 2K)

,

что составляет 9/16=0,56 дисперсии оценки Бартлетта.

Метод Блэкмена-Тьюки. Можно показать, что спектр плотности мощности определяется ДПФ автокорреляционной функцией данных. Зная, что периодограммы можно вычислить прямо по данным как квадрат ДПФ-образа данных, рассмотрим вопрос о полезности данного подхода. В связи с этим, во-первых, заслуживает внимания тот факт, что метод Блэкмена-Тьюки был разработан в 1958 году, тогда как алгоритм БПФ для быстрого вычисления ДПФ не публиковался до 1965 года. Во-вторых, метод Блэкмена-Тьюки имеет некоторые преимущества по сравнению с методом периодограмм. Например, в следующем разделе показано, что метод Блэкмена-Тьюки характеризуется большой добротностью. Кроме того, автокорреляционные функции теперь можно вычислить с помощью ДПФ посредством метода быстрой корреляции. В результате получаем следующую процедуру Блэкмена-Тьюки для определения спектра плотности мощности:

– вычислить автокорреляционную функцию данных;

– воздействовать на данные подходящей весовой функцией;

– вычислить БПФ получающихся данных и получить спектр плотности мощности.

Сравнивая эту процедуру с методом периодограмм, видим, что сглаживание достигается не за счет усреднения нескольких периодограмм, а за счет усредняющего эффекта процесса автокорреляции.

Взвешивание автокорреляционной функции необходимо для сглаживания ее экстремумов, поскольку при больших значениях параметра запаздывания в вычислении участвует немного точек данных, так что получающиеся оценки менее точны. Спад весовой функции по конусу приводит к тому, что данные оценки учитываются с меньшими весовыми коэффициентами.

Оценка Блэкмена-Тьюки Р_вте(f) равна

где – автокорреляционная функция данных, – весовая функций длины 2М-1, равная нулю при .

Чтобы получить реальные оценки, должно быть симметричным относительно m = 0, а чтобы оценки были положительными, образ должен быть больше нуля. Не все весовые функции удовлетворяют данным критериям. Например, им не удовлетворяют функции Хеннинга и Хэмминга.

Можно показать, что математическое ожидание оценки Блэкмена-Тьюки равно

где  – треугольная весовая функция Барлетта.

Для получения дополнительного сглаживания спектра должно выполняться условие М < N. Если N>>m, оценка будет асимптотически несмещенной. Кроме того, если W(k) (ДПФ-образ весовой функции, ) уже , истинный спектр плотности мощности равен

и при , так что при данных условиях оценка Блэкмена-Тьюки является состоятельной.