Метод и свойства периодограмм

Квадрат модуля Фурье-образа представляет собой оценку спектральной плотности мощности и называется периодограммой. Можно показать, что равно

где  – автоковариационная матрица х(n), вычисленная с запаздыванием m, f –частота, a  – треугольная весовая функция (Барлетта), которая определяется следующим образом:    

Для сравнения отметим, что истинная спектральная плотность мощности функции х(n) равна

Следовательно, спектральная плотность мощности, представленная периодограммой, колеблется, а максимальная амплитуда колебаний отклонения определяется следующим образом:

.

Для N>>|m| смещение становится малым и т.е. периодограмма асимптотически несмещенная. Кроме того, для больших N дисперсия периодограммы становится равной

где F зависит от используемой весовой функции, т.е. дисперсия зависит от квадрата спектральной плотности мощности и не сходится к нулю с ростом N. Это означает, что оценки спектральной плотности мощности, полученные из периодограммы, несостоятельны и дают колеблющиеся оценки в последовательных реализациях.

Отметим, что автоковариационная матрица обычно определяется усреднением по N членам, хотя ее можно определять и усреднением по N – |m| членам. Обе оценки состоятельны и являются асимптотически несмещенными, но в первом случае получается меньшая дисперсия, поэтому такой способ предпочтительнее.

Более того, при применении для получения спектра ДПФ соответствующая периодограмма определяется как (1/N)|X(k)|² и имеет размерность нормированной энергии, хотя некоторые авторы называют функцию (1/N)|X(k)|² спектральной плотностью мощности.