Затухающие колебанияфизического маятника

Сила сопротивления движению шара в воздухе направлена противоположно его скорости  и зависит от  сложным образом (см. в [21] работу № 1.6). При медленном движении шара диаметром  сила сопротивления пропорциональна скорости

,                                    (9.34)

где - динамическая вязкость воздуха, 18,1 мкПа×с. Применимость этой формулы Стокса ограничена значениями числа Рейнольдса

.                                            (9.35)

При более точном рассмотрении движения жидкости вдали от шарика К. Осееном было получено следующее выражение для силы, применимое при  [21]

.                        (9.36)

При колебаниях маятника шар движется с переменной скоростью, поэтому при вычислении числа Рейнольдса в качестве скорости можно использовать ее среднее значение за полупериод, в течение которого шар движется в одном направлении

,     (9.37)

где - амплитуда линейных смещений математического маятника. Для уменьшения значений  в данной работе необходимо использовать большую длину нити  и малый диаметр  шарика.

Скорость движения шара (сферы) на нити связана с угловой скоростью

,                                              (9.38)

где вектор направлен из точки подвеса в центр сферы. Сила сопротивления направлена противоположно вектору скорости , поэтому ее момент относительно оси вращения

. (9.39)

С использованием математической формулы для двойного векторного произведения

,                          (9.40)

и перпендикулярности векторов  и  получим выражения для вектора момента сил сопротивления

.       (9.41)

Проекция момента сил сопротивления на ось  (см. рис. 9.1) с учетом (9.4) равна

.                                 (9.42)

С учетом сопротивления воздуха изменятся уравнение (9.5)

,             (9.43)

и уравнение (9.6) для малых углов

,                   (9.44)

.              (9.45)

Это уравнение является примером общего уравнения свободных затухающих колебаний

,                                       (9.46)

со значениями параметров

,        ,                (9.47)

для математического маятника с длиной нити

,  .         .      (9.48)

Решения уравнения (9.46) в случае слабого затухания,  представляют собой затухающие колебания (графики затухающих колебаний есть на рис. 10.13, 10.14 работы 2.10)

,                                (9.49)

с циклической частотой

,                             (9.50)

периодом

,                              (9.51)

и убывающей по экспоненциальному закону амплитудой

.                                       (9.52)

Затухающие колебания характеризуют следующие величины:

1) время релаксации  и время уменьшения амплитуды вдвое

       , ;                            (9.53)

2) декремент затухания – отношения амплитуд двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период

;                                    (9.54)

3) логарифмический декремент затухания

,               (9.55)

 где - число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в  раз, которое можно выразить через число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды вдвое

;                                     (9.56)

4) добротность

.               (9.57)

В модели (9.47) логарифмический декремент затухания  и числа ,  являются постоянными.