Изучение гармонических колебаний математического и физического маятников

Различные механические колебания широко распространены в окружающем мире, в технике и быту. Простейшей моделью колебательной системы является математический маятник – подвешенное на тонкой нерастяжимой нити или на тонком стержне длиной  тело размером гораздо меньшим  и потому принимаемое за материальную точку. Массы нити или стержня считаются пренебрежимо малыми по сравнению с массой тела .

Физическим маятником называют твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной осиО- оси вращения (качания) маятника, не проходящей через центр тяжести тела (рис. 9.1). Выберем направление оси  из плоскости колебаний вдоль оси вращения как показано на рис. 9.1, угол  будем отсчитывать от вертикального положения покоящегося маятника в положительном направлении против часовой стрелки^*1.

а                                                                б

Рис. 9.1. Отклонение физического маятника и вектор  вращающего момента при ,  (а) и при ,  (б); угол  отсчитывается от вертикали в положительном направлении против часовой стрелки

Законом движения физического маятника является уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг оси вращения

,                     (9.1)

где I – момент инерции маятника относительно оси вращения, - время,  – вращающий момент, - проекция момента на ось ,  – сила тяжести, приложенная к центру массС и вызывающая повороты маятника, L – расстояние между осью вращения и центром масс маятника С,  и - вектор угловой скорости^*2 и его проекция на ось , вектор  называют вектором углового ускорения. При выборе отсчета угла  от вертикальной оси в положительном направлении против часовой стрелки (см. рис. 9.1)

.                              (9.2)

Вектор угловой скорости и его проекция на ось  равны

, ,                      (9.3)

где  и - вектор бесконечно малого поворота вокруг оси вращения^*1 и его проекция на ось . Направление вектора угловой скорости  определяется по правилу буравчика с правой нарезкой (правого винта^*2). Если расположить буравчик с правой нарезкой (правый винт) параллельно оси вращения и вращать его в ту же сторону, в какое вращается само тело, то направление ввинчивания буравчика (перемещения винта) укажет направление вектора . При выборе отсчета угла  от вертикальной оси в положительном направлении против часовой стрелки (см. рис. 9.1)

.                                (9.4)

Действительно, если вектор  направлен вдоль оси Oz , то поворот происходит против часовой стрелки, если смотреть на плоскость колебаний с конца оси Oz. При этом обе величины  и  имеют одинаковые знаки (положительные). Если же вектор  направлен противоположно оси Oz , то поворот происходит в другую сторону – по часовой стрелке. При этом обе величины  и  снова имеют одинаковые знаки (отрицательные). С учетом формул (9.2) и (9.4) уравнение (9.1) запишется в виде

.                             (9.5)

Противоположный выбор направления оси Oz изменит знаки проекций векторов  и : ,  и вновь приведет к уравнению (9.5). При выборе отсчета угла  от вертикальной оси в положительном направлении по часовой стрелке и прежнем (как на рис. 9.1) направлении оси Oz окажется ,  и мы вновь получим уравнение (9.5). Таким образом, вид уравнения (9.5) не зависит от выбора направлений оси Oz и отсчета угла отклонения.

При малых отклонениях маятника из положения равновесия  и . Вращающий момент , стремящийся вернуть маятник в положение равновесия, пропорционален углу отклонения  и в этом отношении аналогичен упругой силе. Тогда уравнение (9.5) примет вид

, ,                  (9.6)

а его решение является уравнением гармонических колебаний

,                (9.7)

с амплитудой , циклической частотой

,                                        (9.8)

и периодом

.                                (9.9)

Математический маятник, подвешенный на тонком стержне (нити), является частным случаем физического маятника с  и моментом инерции . В этом случае формулы (9.8), (9.9) переходят в формулы

,                                                 (9.10)

.                               (9.11)

Формула (9.11) позволяет определять ускорение свободного падения  по измерениям периода колебаний маятника :

.                              (9.12)

Формула (9.9) позволяет определять момент инерции  или его отношение к массе  по измерениям периода колебаний маятника :

.                                        (9.13)

Кинетическая энергия физического маятника в ходе его колебаний меняется по закону

,                  (9.14)

где  – угловая скорость. За нулевое значение потенциальной энергии маятника  примем его потенциальную энергию при нулевом отклонении . Высота  подъема центра масс тела с учетом приближенной формулы при  равна

.           (9.15)

Потенциальная энергия маятника равна

. (9.16)

В предыдущих рассуждениях предполагалось отсутствие трения, в таком случае в ходе колебаний по закону (9.7) полная механическая энергия физического маятника сохраняется

.                              (9.17)

Физические маятники №1 и №2, применяемые в настоящей работе, представляет собой сплошные однородные шары на нити длиной . Пренебрегая массой нити, можно считать, что центр масс маятника находится в центре шара. Расстояние L от центра тяжести до точки подвеса равно . Для однородного шара радиуса  и массы  момент инерции  относительно оси, проходящей через его центр масс, равен

.                                 (9.18)

Момент инерции  шара относительно оси, проходящей через точку подвеса, можно вычислить по теореме Гюйгенса^*-Штейнера:

.                   (9.19)

Физический маятник №3, применяемый в настоящей работе, представляет собой тонкостенную сферу радиуса  (шарик для настольного тенниса) на нити длиной . Пренебрегая массой нити, можно считать, что центр масс маятника находится в центре шара. Расстояние L от центра тяжести до точки подвеса равно . Для тонкого кольца радиуса  и массы  момент инерции  относительно оси, совпадающей с его диаметром равен

.               (9.20)

Тонкостенную сферу радиуса  и массы  можно представить состоящей из множества колец и ее момент инерции  относительно оси, проходящей через центр масс, равен

.                                (9.21)

Момент инерции  сферы относительно оси, проходящей через точку подвеса, можно вычислить по теореме Гюйгенса-Штейнера:

.                   (9.22)

В приближении  моменты инерции (9.19) и (9.22) равны , и данные физические маятники можно считать математическими.