Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

 (уравнения Л. Эйлера)

Дифференциальные уравнения описывают зависимость массовых и поверхностных сил от координат какой-либо точки покоящейся жидкости. Для ввода этих уравнений выделим в покоящейся жидкости элементарный параллелепипед со сторонами , ,  и с центром в точке А, ориентируем этот параллелепипед относительно координатных осей ; ;  (рис. 3).

На грани параллелепипеда со стороны окружающей жидкости действуют поверхностные силы – силы гидростатического давления  направленные внутрь параллелепипеда и массовые силы – сила тяжести и сила инерции переносного движения. Равнодействующая массовых сил .

Установим связь между гидростатическим давление в точке А ( ) и массовыми силами.

Силы гидростатического давления на грани параллелепипеда

; ; ;

; ; .

Рис. 3. К выводу уравнения Л. Эйлера

Эти же силы гидростатического давления, выраженные через гидростатическое давление в т. А.

;  и т.д.

Здесь ;  и т.д. градиенты давления по соответствующим координатным осям.

Равнодействующая массовых сил .

    Условие равновесия выделенного параллелепипеда:

; ;

    Рассмотрим случай .

,

или в развернутом виде:

где ;

 – проекция единичной массовой силы (т.е. сила, отнесенная к единице массы) на ось .

    После простейшего преобразования получаем , а по аналогии для других координатных осей ; .

Таким образом, условием равновесия жидкости будет

                                      (13)

В таком виде система уравнений была получена Л. Эйлером в 1775 году.

Система дифференциальных уравнений показывает, что градиенты гидростатического давления в направлении каждой из координат осей равны проекциям на эти же оси единичных массовых сил.

Уравнение гидростатики

Умножим каждый из членов, входящих в систему (13) дифференциальных уравнений, соответственно на ; ;  и просуммируем их. В результате этих действий получим:

                   (14)

Уравнение (14) является аналитическим выражением распределения гидростатического давления жидкости.

    Для случая покоящейся жидкости гидростатическое давление . Следовательно, правая часть уравнения (14) представляет полный дифференциал давления .

    Таким образом, приведенное выше уравнение (14) приобретает следующий вид:

                                   (15)

Применим уравнение (15) к случаю абсолютного покоя жидкости, когда массовой силой является только сила тяжести. При принятом направлении координатных осей проекции этой силы будут:

; ; ,

 а уравнение (15) применительно к точке получает вид:

.

После интегрирования получим:

При  – давление на свободной поверхности, а  – глубина погружения в жидкости точки, для которой определяется давление:

                                               (16)

где		– давление на свободной поверхности;
		– плотность жидкости.

Уравнение (16) называется основным уравнением гидростатики.

Закон Паскаля

«Если жидкость находится в состоянии покоя, то изменение давления на любой внешней поверхности, возникающее от действия внешних сил, передается без изменения во все точки объема, занимаемого данной жидкостью».

Доказательство из уравнения (16).

Абсолютное давление в т. А при размещении поршня в положении –  (рис.3):

                                                  (17)

После перемещения поршня в положение  (рис. 3а) давление на свободной поверхности увеличится на величину  и будет равно , а абсолютное давление в т. А будет равно

,

т.е. при изменении давления на свободной поверхности на , на эту же величину увеличится давление в точке А.

Рис. 3а. Схема действия давления по закону Паскаля.

Эта идея использована Паскалем в принципиальной концепции гидропроцесса.

Пьезометрическая высота

Слово «пьезометрическая» от греческого означает «давление»+«мера».

В закрытом сосуде с жидкостью установим две трубки на уровне ВА, причем у одной из них запаян конец и отсутствует давление ( ), а другая имеет открытый конец ( ) (рис. 4).  называется атмосферным давлением окружающего нас воздуха. Это давление изменяется во времени и с изменением высоты местности. За нормальное атмосферное давление принимается , что соответствует  столба пресной воды и  столба ртути. При решении задач за атмосферное давление принимают .

Внутри сосуда зададим давление . Жидкость в правой трубке поднимается на высоту , получившей название избыточной пьезометрической высоты; в левой трубке жидкость поднимается на уровень , получившей название абсолютной пьезометрической высоты, а  называется абсолютным давление в точке А.

Рис. 4. Пьезометрическая высота.

Вакуум – разность между атмосферным и абсолютным давлением - «пустота» (лат.) или недостаток давления (рис. 5)

                                     (18)

Рис. 5. Схема измерения вакуума

Напор

Рассмотрим точку К (рис. 6) на произвольной глубине h по отношению к плоскости сравнения 0 – 0. В точке К установим пьезометр. Пьезометрический напор

где  – геометрический напор.

    Аналогично определим напор в точке С:

Очевидно, что .

Отсюда следует, что напор  состоит из удельной потенциальной энергии давления  и удельной потенциальной энергии положения  (геометрический напор).

Далее опустим в сосуд на малую глубину трубку Е, предварительно выкачав из нее воздух. По этой трубке жидкость поднимается на высоту  равную приведенной пьезометрической высоте. Сумма двух линейных величин  и  называют гидростатическим напором:

Рис 6. Схема расчета напора

                        (19)

Таким образом, при учете гидростатического напора учитывают атмосферное давление .