Раздел 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики

Случайные события и их вероятности.

Математическая статистика.

Применение комбинаторики к подсчету вероятности.

Пример 1:

В партии из N деталей имеется n бракованных. Какова вероятность того, что среди наудачу отобранных k деталей окажется s бракованных?

Решение.

Количество всех элементарных исходов равно . Для подсчета числа благоприятных случаев рассуждаем так: из n бракованных можно выбрать s деталей способами, а из N – nнебракованных можно выбрать

k – s небракованных деталей способами; по правилу произведения число благоприятных случаев равно . Искомая вероятность равна:

p =    (1)

Замечание:

Всякое k-членное подмножество n-членного множества называется сочетанием из n элементов по k.

Число различных сочетаний из n элементов по k обозначается .

Справедлива формула

 =  ,  (2)

n! =1 2 3 4 … n

Пример 2:

В партии из 12 деталей имеется 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наугад деталей 4 стандартных.

Решение.

Искомую вероятность найдем по формуле (1) для случая

N =12, n =7, k = 6, s = 4.

p =  =  =  = .  

Пример 3:

Имеется набор разноцветных шариков, среди которых 5 синих, 3 красных и 2 зеленых. Наугад извлекают 4 шарика. Найти вероятность того, что среди извлеченных шариков 2 синих, 1 красный и 1 зеленый.

Решение

 Для определения вероятности случайного события будем использовать классическую формулу , в которой n – число всех возможных исходов, m- число исходов, благоприятных появлению события. В задаче значения этих величин следует находить при помощи сочетаний.

Пример 4:

Из карточек разрезной азбуки составлено слово «панорама». Карточки перемешали и наудачу по одной извлекают 5 карточек, выкладывая их в порядке извлечения. Найти вероятность того, что окажется составленным слово «роман».

Решение

В этой задаче можно воспользоваться произведением зависимых случайных событий

А – получение слова «роман»; В₁ – извлечение первой карточки с буквой «р»;

В₂ – извлечение второй карточки с буквой «о»; и т.д. Тогда А=В₁ ^. В₂ ^. В₃ ^. В₄ ^. В₅

 Р(А)=Р(В₁) ^. Р(В₂) ^. Р(В₃) ^. Р(В₄) ^. Р(В₅)=

Пример 5:

В трех ящиках имеется по 6 одинаковых изделий, среди которых соответственно 2,  

1, 3 бракованных. Наугад из каждого ящика извлекают по одному изделию. Найти вероятность того, что среди них окажутся два качественных и одно бракованное изделия.    

 Решение

Для решения задачи рассмотрим события: А – извлечение двух качественных и одного бракованного изделий, В₁ – извлечение качественного изделия из первого ящика;

В₂ – извлечение качественного изделия из второго ящика; В₃– извлечение качественного изделия из третьего ящика; извлечение бракованного изделия для каждого ящика является событиями Составим событие А и вычислим его вероятность

Пример 6:

Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины, составить функцию распределения, начертить многоугольник распределения и график функции распределения. Имеется заданный ряд распределения дискретной случайной величины

Для вычисления математического ожидания воспользуемся формулой   

Получим M(X)=(-1)^.0,5+2^.0,3+6^.0,2=1,3

Для вычисления дисперсии воспользуемся двумя соотношениями, одно из которых соответствует определению дисперсии, другое – ее свойству.

В примере получим: D(X)=(-1-1,3)^{2 .} 0,5+(2-1,3)^{2 .}  0,3+(6-1,3)^{2 .} 0,2=7,21

M(X²)=(-1)^{2 .} 0,5+2^{2 .} 0,3+6^{2 .} 0,2=8,9

D(X)= 8,9 – 1,3² =7,21 (значения должны совпадать)

Для построения многоугольника распределения нужно на координатной плоскости построить точки (x_i ;p_i) и последовательно их соединить отрезками.

Для построения функции распределения воспользуемся схемой:

В примере получим

Используя значения заданного примера получим графики:

ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задание №1.

Номер варианта	Задание: Найти произведение матриц АВ = С, если А, В даны:
1	А = , В =
2	А = , В =
3	А = , В =
4	А = , В =
5	А = , В =
6	А = , В =
7	А = , В =
8	А = , В =
9	А = , В =
10	А = , В =

Задание №2.

Номер варианта	Задание: Вычислить предел
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Задание №3.

Задание  № 4.

№ варианта	Задание: Исследовать свойства функции и построить её график
1	y =
2	y =
3	y =
4	y =
5	y =
6	y =
7	y =
8	y =
9	y =
10	y =

Задание № 5.

Номер варианта	Задание: Найти интегралы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Задание № 6.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Основные источники:

1. Математика: учебник. А.А. Дадаян. – М. : ФОРУМ, 2008

2. «Общий курс высш. математики» под ред. Ермакова Е.И. М., ИНФРА-М,2004

3. Математика: учебник для студ. сред. проф. учреждений; С.Г. Григорьев, С.В. Иволгина; - М.: Издательский центр «Академия», 2010

4. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская, В.В. Соколов; – М. - ФОРУМ, 2008

5.  Дискретная математика – учебное пособие. Макоха А.Н., Сахнюк П.А., Червяков Н.И.: учеб. Пособие – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005

6. Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2011.-256 с.

7. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. пособие.- 2-е изд., перераб. и доп.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990-576 с.

8. Пехлецкиий И.Д. Математика: учебник.- М., 2003.

Дополнительные источники:

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А.Г. Мордкович. -11-е изд.,стер. –М.: Мнемозина, 2010.-399 с.

2. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений ( базовый уровень) / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича.-10-е изд., стер.-М.: Мнемозина,2009.-239 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ № 1

ПРИЛОЖЕНИЕ № 2

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

                                                                                                                 ПРИЛОЖЕНИЕ № 3

ТАБЛИЦА ПЕРВООБРАЗНЫХ

 (НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ)