Студопедия

КАТЕГОРИИ:

Авто Автоматизация Архитектура Астрономия Аудит Биология Бухгалтерия Военное дело Генетика География Геология Государство Дом Журналистика и СМИ Изобретательство Иностранные языки Информатика Искусство История Компьютеры Кулинария Культура Лексикология Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлы и Сварка Механика Музыка Население Образование Охрана безопасности жизни Охрана Труда Педагогика Политика Право Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радио Регилия Связь Социология Спорт Стандартизация Строительство Технологии Торговля Туризм Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Ценнообразование Черчение Экология Эконометрика Экономика Электроника Юриспунденкция

Понятие и вычисление определителя матрицы

Стр 1 из 5Следующая ⇒

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

РОССИЙСКИЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Им. Г.В. ПЛЕХАНОВА

Воронежский филиал

Отделение среднего профессионального и дополнительного образования

МАТЕМАТИКА

Методическое пособие и задания для контрольной работы

для студентов второго курса специальности

38.02.01 «Экономика и бухгалтерский учёт (по отраслям)»

очной формы обучения

Воронеж 2017

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………….. 4

Примерный тематический план……………………………………………. 5

Общие методические указания по выполнению контрольной работы.. 6

Краткие теоретические сведения и образцы решения задач…………… 7

Раздел 1. Элементы линейной алгебры. …………………………………… .. 7

Матрицы и определители……………………………………………………. 7

Системы линейных уравнений …………………………………………….. 12

Раздел 2. Основы математического анализа……………………………… .. 13

Теория пределов ……………………………………………………………. 13

Дифференциальное исчисление……………………………………………. 18

Интегральное исчисление………………………………………………….. 20

Раздел 3. Основы теории комплексных чисел………………………………. 26

Раздел 4. Элементы теории вероятностей и математической статистики…. 30

Задания контрольной работы………………………………………………. 34

Рекомендуемая литература…………………………………………………. 38

Приложения …………………………………………………………………… 39

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

И ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Раздел 1. Элементы линейной алгебры

Матрицы

Матрицей размером называется прямоугольная таблица каких-либо данных, состоящая из строк и столбцов. Данные, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Матрицу обычно заключают в круглые скобки и обозначают прописными латинскими буквами и т. д. Когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. В общем виде матрицу размером записывают так

Если элементамиматрицы являются числа, то она называется числовой матрицей. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами : первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, – элемент стоит во 2- ой строке, 3-м столбце. Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число её строк или столбцов называется порядком матрицы. Например, в матрице три строки и три столбца; =6. В данной матрице количество строк совпадает с количеством столбцов, поэтому она квадратная, третьего порядка. Матрица, у которой всего одна строка, называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом. Такие матрицы также называют векторами. Например,

Главной диагональю квадратной матрицы называют диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол. Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже или выше главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, .

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой . Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид:

Действия с матрицами

Пусть матрицы и состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы и нужно к элементам матрицы прибавить элементы матрицы , стоящие в одинаковых позициях. Две матрицы и называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны . Так если и , то , если

Если в матрице поменять местами строки и столбцы, то получим матрицу, которая называется транспонированной матрицей и обозначается .

Например, для матрицы транспонированной матрицей будет .

Если матрицы и состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры, то суммой двух матриц и называется матрица , которая определяется по правилу, например, , т. е., для того, чтобы сложить матрицы и нужно к элементам матрицы прибавить элементы матрицы , стоящие в одинаковых позициях

Примеры. Найти сумму матриц:

b) . Сложить нельзя, т.к. размеры матриц различны.

Сложение матриц подчиняется следующим законам:

a) коммутативному

b) ассоциативному .

Для того чтобы умножить матрицу на число нужно каждый элемент матрицы умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число есть новая матрица, которая определяется по правилу

Для любых чисел и , и матриц и выполняются равенства:

Пример. Найти , если,

Для матриц, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй) вводится операция умножения матриц.

Произведением матрицы на матрицу называется новая матрица , элементы которой составляются следующим образом: чтобы получить у произведения элемент, стоящий в 1-ой строке и 1 -м столбце, нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 1-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. Второй элемент первой строки матрицы - произведения получается аналогично. Элементы первой строки первой матрицы умножаются на соответствующие элементы второго столбца второй матрицы, и полученные произведения складываются и т. д. Для получения элементов второй строки матрицы-произведения те же самые операции повторяются для второй строки первой матрицы и столбцов второй матрицы. Элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат. Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Например, . Пример. Найти произведение матриц. .

Матрицы не перестановочны друг с другом, т.е. . Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей. Умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е., и . При умножении квадратной матрицы на единичную матрицу того же порядка вновь получим матрицу , причём

Произведение 2-х ненулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице. Например,

Понятие и вычисление определителя матрицы

Определителем квадратной матрицы порядка на является сумма, содержащая слагаемых. Каждое слагаемое представляет собой произведение элементов матрицы, причём в каждом произведении содержится элемент из каждой строки и из каждого столбца матрицы . Перед слагаемым появляется коэффициент (-1), если элементы матрицы в произведении упорядочены по номеру строки, а количество инверсий в данной перестановке множества номеров столбцов нечётно. Определитель матрицы обычно обозначается как , также встречается обозначение или . Также определитель называют детерминантом. Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов, . Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, будет число, получаемое следующим образом

Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов второй диагонали.

Пример. Вычислить определители второго порядка .

Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, будет число, получаемое следующим образом:

При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников. Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Три положительных члена определителя представляют собой произведения элементов главной диагонали и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали. Три отрицательных его члена есть произведения элементов побочной диагонали и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали.

Пример. .

Для нахождения определителя третьего порядка часто используют способ Саррюса или способ «параллельных полосок» Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и проводят параллельные линии:

Множители, находящиеся на диагоналях, параллельных главной диагонали входят в формулу со знаком «плюс». Множители, находящиеся на диагоналях, параллельных побочной диагонали входят в формулу со знаком «минус».

Свойства определителя матрицы

1. Определитель единичной матрицы равен единице

2. Определитель матрицы с двумя равными строками (столбцами) равен нулю.

3. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

4. Определитель матрицы, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.

5. Определитель матрицы равен нулю если две (или несколько) строк (столбцов) матрицы линейно зависимы.

6. При транспонировании значение определителя матрицы не меняется

7. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число.

8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить линейную комбинации других строк (столбцов).

9. Если поменять местами две строки (столбца) матрицы, то определитель матрицы поменяет знак.

10. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя

11. Если квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени

12. Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем

13. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов

14. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц.

Обратная матрица

Матрица называется обратной для матрицы , определитель которой отличен от нуля, если справедливы равенства , где – единичная матрица порядка.

Обратная матрица обозначается .

Минором -ого порядка матрицы порядка на – это определитель матрицы порядка на , которая получается из элементов матрицы , находящихся в выбранных строках и столбцах. (k не превосходит наименьшего из чисел или ).

Минор -ого порядка квадратной матрицы порядка на , который получается из элементов всех строк, кроме -ой, и всех столбцов, кроме -ого, обозначим как . Иными словами, минор . получается из квадратной матрицы порядка на вычеркиванием элементов ой строки и -ого столбца.

Например, для матрицы найдём .

Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы называют минор -ого порядка, который получается из матрицы , вычеркиванием элементов её ой строки и ого столбца, умноженный
на .

Алгебраическое дополнение элемента обозначается как . Таким образом, . Например, для матрицы найдём .

Алгоритм нахождения обратной матрицы

1. Найти определитель матрицы . Если он равен нулю, то данная матрица вырождена и для неё не существует обратной, в противном случае перейти к пункту 2.

2. Найти алгебраические дополнения элементов матрицы.

3. Составить матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы и протранспонировать её. Эта матрица называется присоединённой или союзной и обозначается .

4. Разделить присоединённую матрицу на детерминант. Полученная матрица будет обратной

Пример. Найти матрицу, обратную матрице .

. Значит, обратная матрица существует.

Находим алгебраические дополнения

Матрица из алгебраических дополнений имеет вид . Присоединённая матрица . Находим обратную матрицу по формуле =

Системы линейных уравнений

Правило Крамера

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Решая данную систему способом сложения, получим,

В полученной системе коэффициенты при переменных равны определителю второго порядка, составленному из коэффициентов при переменных системы, а свободные члены получены из данного определителя; первый - заменой элементов первого столбца свободными членами системы, а второй – заменой элементов второго столбца определителя теми же свободными членами.

Введём обозначения;

Система запишется в виде

Исследуем полученную систему.

1) Если , то система имеет единственное решение: . Эти формулы называются формулами Крамера.

2) Если , а , то система не имеет решений.

3) Если , то система имеет бесконечное множество решений.

Метод Крамера можно обобщить на систему уравнений с неизвестными:

Теорема

Система уравнений с неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов.

Таким образом, для решения системы уравнений с неизвестными методом Крамера нужно вычислить:

· главный определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных;

· дополнительный определитель для первой переменной, полученный из главного определителя заменой чисел первого столбца на свободные члены;

· дополнительный определитель для второй переменной, полученный из главного определителя заменой чисел второго столбца на свободные члены;

· дополнительный определитель для третьей переменной, полученный из главного определителя заменой чисел третьего столбца на свободные члены и т. д.

· дополнительный определитель для ой переменной, полученный из главного определителя заменой чисел го столбца на свободные члены

· для получения значений неизвестных требуется разделить значения дополнительных определителей на главный определитель

Пример 1.

Решение:

1) Составим и вычислим главный определитель : - система имеет одно решение, можно применить теорему Крамера

2) Составим и вычислим определитель :

3) Составим и вычислим определитель :

4) Найдем значения и по формулам Крамера

.

Ответ:

Пример 2. .

Так как , то система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители.

Проверка:

Метод Гаусса

Если ,то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса. Метод Гаусса заключается в последовательном исключении переменных. При этом над уравнениями системы производятся элементарные преобразования, которые не меняют решение системы уравнений:

1. Умножение обеих частей уравнений на одно и то же число;

2. Прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на некоторое число.

Если в процессе решения системы появится уравнение вида , то оно отбрасывается из полученной системы. Если же среди уравнений системы окажется уравнение вида , где , то такая система не имеет решений.

Алгоритм метода Гаусса

1. Выбирают в системе одно уравнение, которое называют ведущим или разрешающим уравнением

2. В этом уравнении выбирают одну неизвестную, коэффициент которой отличен от нуля. Переменную называют ведущей или разрешающей переменной.

3. Подбирают числовые множители для каждого из уравнений так, чтобы после сложения ведущего уравнения с каждым из других уравнений системы, в них «пропала» ведущая переменная

4. В полученной после сложения системе выбирают подсистему, в которой на одно уравнение и на одну переменную меньше

5. Для подсистемы снова выполняют пункты 1-4. В результате система сведётся к одному из следующих случаев

a. Система принимает «треугольный» вид, в котором последнее уравнение содержит только одну переменную, предпоследнее уравнение содержит только две неизвестные и т. д. После приведения системы к «треугольному» виду, неизвестные находят одна за другой методом подстановки. Система будет иметь единственное решение.

b. Система принимает «трапецеидальный» вид, в которой последнее уравнение содержит наименьшее количество переменных, но не одну. После приведения системы к «трапецеидальному» виду «треугольную» часть системы оставляют в левой стороне, а неизвестные, не вошедшие в «треугольник», переносят в правую часть системы, выражая через них остальные переменные. «Лишние» неизвестные могут принимать любые значения, и система будет иметь бесконечно много решений

c. Система противоречива, противоречие становится очевидным на каком-то шаге. Система в этом случае решений не имеет.

Пример 1. Решить методом Гаусса систему уравнений:

Первое уравнение системы считаем ведущим, неизвестную считаем ведущей. Умножая первое уравнение последовательно на и на , и прибавляя его соответственно ко второму и третьему уравнениям, получаем систему:

Выбираем второе уравнение системы и неизвестную ведущими. Умножая ведущее уравнение на , и прибавляя его к третьему уравнению, приходим к системе:

Из последнего уравнения полученной системы следует, что . Найденное значение подставляем в предшествующее уравнение системы (второе). Получаем . Найденные значения подставляем в предшествующее уравнение системы (первое). Получаем: .

Пример 2. Решить методом Гаусса систему уравнений:

Считаем первое уравнение и первую переменную за ведущие. Умножая первое уравнение на , а второе на и складывая их, приходим к системе «трапецеидального» вида.

«Треугольную» часть системы оставляем в левой части, а остальную часть переносим в правую часть системы.

Подставляя значения для в первое уравнение системы, получаем: . Система имеет бесконечно много решений,

12 3 4 5 Следующая ⇒

Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 352.

stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда...