Общая схема исследования функции и построения ее графика

1. Найти область определения функции. Выделить особые точки (точки разрыва).

2. Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.

3. Найти точки пересечения с осями координат

4. Установить, является ли функция чётной или нечётной.

5. Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций, остальные непериодические, пункт пропускается).

6. Найти точки экстремума и интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.

7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.

8. Найти наклонные асимптоты функции.

9. Построить график функции.

Пример:

Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график y = x³+6x²+9x+2

РЕШЕНИЕ:

1) Область определения функции – вся числовая прямая, то есть  

D (y) = (−∞; +∞) . 

Точек разрыва нет, вертикальных асимптот нет. 

2) Точки пересечения с осями координат:

Ox : найти затруднительно

Oy:x=0⇒ 0³ +6*0² +9*0+2=2 ⇒ Точка (0;2)

3)Функция общего вида, так как 

y(-x) = -x³ +6x² -9x+2≠ ±y(x)

4) Экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную:

y'=3x² +12x+9

Находим критические точки: y'=0; 3x² +12x+9=0; x₁ =-1; x₂ =-3.

Исследуем знак производной на интервалах,

на которые критические точки делят область определения функции.

y'   +             -                 +

y            -3             -1                 x

Функция возрастает на интервалах (−∞ ;-3),(-1; +∞) , убывает на интервале

(-3;-1). Функция имеет минимум в точке x = -1 , y(-1) =-2 , функция имеет максимум в точке x = -3 , y(-3)=2.

5) Выпуклость и точки перегиба. Вычисляем вторую производную. 

y''=(3x² +12x+9)'=6x+12

Находим критические точки: y''=0; 6x+12=0; x=-2.

Исследуем знак производной на интервалах, на

которые критические точки делят область определения функции. 

y'' -           +

y         -2            x

Функция выпукла вверх на интервале (−∞;-2) , выпукла вниз на интервале

 (-2 ; +∞) . Точка перегиба: x =-2, y(-2) = 0.

6) Асимптоты. 

Так как  = =∞ , асимптот нет. 

7) Строим график функции.   

Интегральное исчисление.

1.Основные правила интегрирования

1. Если то где – произвольная постоянная. 2. где – постоянная. 3.

2.Таблица основных неопределенных интегралов

1. . 2. 3. . 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

3.Непосредственное интегрирование

Отыскание неопределенного интеграла с помощью таблицы, правил и тождественных преобразований называют непосредственным интегрированием. Пример:  -  + )dx = 2 dx - dx - dx + 3  = 2  -  +3 arcsin x + C При интегрировании использованы правила 2 и 3, а также табличные формулы 2,4,6,11.

4.Метод подстановки (замена переменной интегрирования)

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов: а) где – монотонная, дифференцируемая функция; б) – новая переменная. В первом случае формула замены переменной имеет вид: . (1) Во втором случае: . (2) В обоих случаях после интегрирования следует возвращаться к старой переменной обратной подстановкой. Пример 1. Вычислить интеграл: Решение. Сделаем замену переменных t=x+1 и найдем дифференциал от обеих частей, тогда dt = (x+1)'dx ⇒ dt= dx Подставляя все в исходный интеграл, получим:  =  =  +C =  +C, где C - const . Здесь заключительное действие - это обратная замена переменных. В данном случае с помощью замены в интеграле удалось свести интеграл к табличному, затем была произведена обратная замена переменных и получен ответ.

Пример 2:

 (положим t = 2x+3, тогда x=  t- , dx =  dt)

=  =-  +C= =-  +C                  

Пример 3:

dx= (положим t= x² +25, тогда dt = 2x dx, x dx= dt) = * dt= dt=  +C = +C =  +C =  +C

Определенный интеграл.

Если существует определенный интеграл от функции f(x) , то в этом случае функция называется интегрируемой на отрезке .

Для интегрируемости функции на отрезке достаточно, чтобы она была непрерывна на нем или имела конечное число точек конечных разрывов.

Если функция непрерывна на , то от нее существует неопределенный интеграл

и имеет место формула

т.е. определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений первообразной функции (или неопределенного интеграла) при верхнем и нижнем пределах.

Формула

называется формулой Ньютона-Лейбница.

Пример 1:

Необходимо найти определенный интеграл

Имеем:

Таким образом искомый интеграл равен 6.

Пример 2:

Вычислить интеграл:

 Решение:                                                 

 =( 3  + 4  +5x)  = +2 -

- ( +2  26- 8=18.

Примеры решения задач

1) Найти неопределенные интегралы:

Решение

При решении примеров следует пользоваться свойствами неопределенных интегралов, таблицей интегралов, в которую включена формула интеграла функции линейного аргумента, непосредственным интегрированием и методом подстановки.

б) Выполнив почленное деление в подынтегральной функции, получим:  

в)

г) Будем использовать подстановку:

д) Воспользуемся подстановкой:

2) Вычислить определенные интегралы:

Решение

При вычислении определенных интегралов используем формулу Ньютона-Лейбница

. Получение первообразной функции F(x) будем выполнять или непосредственно или способом подстановки.

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у=1 – х² + 4х и 2х – у – 2 =0

Для определения точек пересечения линий составим уравнение из равенства выражений этих линий: 1 – х² + 4х = 2х – 2; получим уравнение: х² – 2х – 3 = 0.

Корнями этого уравнения являются числа: (-1) и 3. Для построения линий найдем

 значения функций и составим их таблицы:

Построив фигуру на плоскости, вычислим ее площадь, определив значение интеграла