Раздел 2. Основы теории комплексных чисел

 Основные понятия теории комплексных чисел.

Комплексным числом называется число вида , где и – действительные числа, – так называемая мнимая единица. Число называется действительной частью комплексного числа , число называется мнимой частью комплексного числа .

– это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: или переставить мнимую единицу: – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке:

Сложение комплексных чисел

Пример 1:

Сложить два комплексных числа ,

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Действие настолько очевидно, что не нуждается в дополнительных комментариях.

Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.

Для комплексных чисел справедливо правило первого класса: – от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Вычитание комплексных чисел

Пример 2:

Найти разности комплексных чисел и , если

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: . Для наглядности ответ можно переписать так: .

Рассчитаем вторую разность:

Здесь действительная часть тоже составная:

Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: . Вот здесь без скобок уже не обойтись.

Умножение комплексных чисел

Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:

Пример 3:

Найти произведение комплексных чисел ,

Очевидно, что произведение следует записать так:

Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что и быть внимательным.

Повторим школьное правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Я распишу подробно:

Надеюсь, всем было понятно, что

Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках.

Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: .

Деление комплексных чисел

Пример 4: 

Даны комплексные числа , . Найти частное .

Составим частное:

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Вспоминаем формулу и смотрим на наш знаменатель: . В знаменателе уже есть , поэтому сопряженным выражением в данном случае является ,

то есть

Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число :

Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой (помним, что и не путаемся в знаках!!!).

Распишу подробно:

Пример подобран «хороший», если взять два произвольных числа, то в результате деления почти всегда получатся дроби, что-нибудь вроде .

Примеры решения задач

1) Построить на координатной плоскости числа Z₁ , Z₂, где Z₁=3-2i, Z₂=-1+i.

Решение

  На координатной плоскости изобразим точки (3; -2), (-1; 1) и соединим их с началом

   координат, получив векторы, конечными точками которых являются заданные точки.

2) Выполнить действия сложения, вычитания, умножения, деления над комплексными числами в алгебраической форме.

Z₁=3+4i, Z₂=2i¹⁸-5i¹⁵

Решение

Предварительно преобразуем второе число, используя значения степеней мнимой единицы. i¹⁸=i¹⁶⁺²=i¹⁶i²=1i²=-1, i¹⁵=i¹²⁺³=i¹²i³=i³=-i, Z₂=-2+5i

Выполним действия над числами:

Z₁+Z₂=(3+4i)+(-2+5i)=3+4i-2+5i=(3-2)+(4i+5i)=1+9i

Z₁-Z₂=(3+4i)-(-2+5i)=3+4i+2-5i=(3+2)+(4i-5i)=5-I

      Z₁ ^.Z₂=(3+4i) ^. (-2+5i)=-6+15i – 8i +20i²=-6+7i – 20= - 26 + 7i  

3) Представить число в тригонометрической форме Z=

Найдем модуль и аргумент комплексного числа