Аналитические решения заданного уравнения

Дано                              

 у'' – 3у' + 2у =х, у(0) = у'(0) = 1.                      (***)

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Найдем общее решение у_он этого уравнения, которое равно сумме какого-либо частного решения у_чн неоднородного уравнения и общего решения у_∞ соответствующего однородного уравнения

у_он = у_∞ + у_чн.

Запишем соответствующее однородное уравнение

у'' – 3у' + 2у = 0,

его характеристическое уравнение k² – 3k + 2 = 0 имеет корни k₁ = 2, k₂ = 1. Поэтому

у_∞ = с₁е^2х + с₂е^2х.

Для определения частного решения неоднородного уравнения (***) воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Так как правая часть уравнения (***) является многочленом первой степени и число ά + β_i = 0 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение имеет вид:

у_чн =Ах +В.

Чтобы определить значения коэффициентов А и В, находим производные

у_чн = А,  у_чн = 0,

подставляем у_чн, у_чн, у_чн в уравнение (19)

-3А +2Ах + 2В = х

и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему

из которой находим . Следовательно,  и

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, для чего продифференцируем общее решение и подставим начальные условия в общее решение и его производную, в результате получим систему

решая которую, найдем .Таким образом, получили аналитическое решение заданного уравнения, удовлетворяющего данным начальным условиям

3. Сравним значения точного и приближенного решений заданного уравнения в точках х₁, х₂, х₃. Это сравнение дано в табл.12.

Таблица 12

i	yi по методу Рунге-Кутта	у(хi) – точное решение	- абсолютная погрешность
0	1,0000000	1,000000
1	1,105349	1,105351	2∙10-6
2	1,222951	1,222955	4∙10-6
3	1,3555196	1,3555301	1∙10-5

ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задание 1

Решить приближенно методом итерации и методом Зейделя. Сравнить ответы.

Варианты задания:

1.	14.
2.	15.
3.	16.
4.	17.
5.	18.
6.	19.
7.	20.
8.	21.
9.	22.
10.	23.
11.	24.
12.	25.
13.

Примечание. Для лучшей сходимости итерационного процесса необходимо преобразовать уравнения, выделив наибольшие диагональные элементы при неизвестных. Для этого необходимо или переобозначить неизвестные (циклическая перестановка) или переставить уравнения.

Задание 2

Решить систему линейных уравнений , заданную в матричной форме, методом итерации, предварительно найдя значения неизвестных одним из прямых методов.

Варианты задания:

Вариант	A	B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Задание 3

Найти все действительные корни уравнения  с точностью  комбинированным методом и методом итерации. Сравнить число шагов, необходимое для достижения одинаковой точности этими методами. Вычисления вести с одним запасным знаком.

Варианты задания:

1.	11.	21.
2.	12.	22.
3.	13.	23.
4.	14.	24.
5.	15.	25.
6.	16.	26.
7.	17.	27.
8.	18.	28.
9.	19.	29.
10.	20.	30.

Задание 4

Построить кубическую сплайн-функцию для функции  , заданной таблично на отрезке  .

Варианты задания:

Вари-ант	Значения переменных				Перемен-ные	Значения переменных				Вари-ант
1	-1	0	3	5		2	4	7	8	11
	-3	5	2	-1		-1	-6	3	9
2	2	3	5	8		-9	-7	-4	-1	12
	4	1	7	-1		3	-3	4	-1
3	0	2	3	4		0	1	4	6	13
	-1	-4	2	6		7	-1	8	-2
4	7	9	13	15		-8	-5	0	2	14
	2	-2	3	6		9	-2	4	-6
5	-3	-1	3	5		-7	-5	-4	-1	15
	7	-1	4	9		4	-4	5	9
6	1	2	4	7		1	4	9	10	16
	-3	-7	2	8		-2	9	3	0
7	-2	-1	2	3		7	8	10	14	17
	4	9	1	-6		6	-2	7	3
8	2	4	5	7		-4	0	2	3	18
	9	-3	6	-1		4	8	-2	-6
9	-4	-2	0	3		-3	-1	1	2	19
	2	8	5	-1		11	-1	6	-2
10	-1	1,5	3	4,5		0	3	8	10	20
	4	-7	1	6		1	5	-4	-8

Задание 5

Вычислить приближенно     с точностью ε = 10^-3, воспользовавшись той из формул приближенного интегрирования, которая потребует меньшего объема вычислений. Вычислить определенный интеграл точно и сравнить с приближенным его значением.

Варианты задания

1.		11.		21.
2.		12.		22.
3.		13.		23.
4.		14.		24.
5.		15.		25.
6.		16.		26.
7.		17.		27.
8.		18.		28.
9.		19.		29.
10.		20.		30.

Задание 6

Численно решить дифференциальное уравнение у' = f (x,y) с начальным условием у₀ = у(х₀) на отрезке [x₀, b] с шагом h = 0,2 методом Эйлера, модифицированным методом Эйлера и методом Рунге-Кутта. Найти аналитическое решение у = у(х) заданного уравнения и сравнить значения точного и приближенных решений в точке x = b. Вычислить абсолютную и относительную погрешности в этой точке для каждого метода. Вычисления вести с четырьмя десятичными знаками.

Варианты задания

1.		у (1)=1	x [1,2]
2.		у (0)=-1	x [0,1]
3.		у (1)=0	x [1,2]
4.		у (0)=-1	x [0,1]
5.		у (2)=3	x [2,3]
6.		у (1)=0,5	x [1,2]
7.		у (1)=0	x [1,2]
8.		у (0)=1	x [0,1]
9.		у (1)=1	x [1,2]
10.		у (0)=1	x [0,1]
11.		у (1)=3	x [1,2]
12.		у (1)=0	x [1,2]
13.		у (2)=3	x [2,3]
14.		у (0)=1	x [0,1]
15.		у (1)=2	x [1,2]
16.		у (1)=2	x [1,2]
17.		у (0)=3	x [0,1]
18.		у (0)=0,5	x [0,1]
19.		у (1)=1	x [1,2]
20.		у (1)=1	x [1,2]
21.		у (1)=4	x [1,2]
22.		у (1)=3	x [1,2]
23.		у (1)=-5/6	x [1,2]
24.		у (2)=4	x [2,3]
25.		у (1)=1	x [1,2]
26.		у (1)=0	x [1,2]
27.		у (1)=1	x [1,2]
28.		у (1)=1	x [1,2]
29.		у (1)=1	x [1,2]
30.		у (1)=0,5	x [1,2]

Задание 7

Методом Рунге-Кутта найти с точностью до ε = 10^-3 решение дифференциального уравнения у = f (x,y) с начальным условием у(0) = 0 на отрезке [0;0,2].

Варианты задания

1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.

Задание 8

Методом Рунге-Кутта найти решение дифференциального уравнения   y'' = f(x, y, z) c начальными условиями у(х₀) = у₀,  на отрезке [0;0,3] и с шагом h = 0,1. Найти аналитическое решение у(х) = у заданного уравнения и составить таблицу точного и приближенного решений заданного уравнения во всех точках х₁, х₂, х₃. Все вычисления вести с шестью десятичными знаками.

Варианты задания